常微分方程的数值解法(IV)

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1、第八章常微分方程数值解法8.1欧拉法（重点）8.2龙格-库塔法8.3亚当斯方法8.4线性多步法（重点）8.5方程组与高阶方程的数值解法8.6边值问题的数值解法1欧拉法的几何意义y0xix0x1xi+1xn-1xnx228.1.1矩形法（8.1.2）38.1.2梯形法（改进的Euler方法）(8.1.4)4迭代求解隐式方程（8.1.5）5隐式方程的收敛性★6隐式方程的收敛性★7预估－矫正法8局部截断误差9算法精度与局部截断误差的主项10欧拉法的局部截断误差★11梯形法的局部截断误差★12算法精度二阶方法一阶方法一阶方法注：也可定

2、义算法具有p阶精度为：算法公式对任意次数不超过p次的多项式准确成立，但对于某一p+1次多项式不准确成立。13例证明Euler方法能准确地求解以下初值问题★14证明15Euler法的收敛性其中：16例考察以下初值问题Euler法的收敛性解：★178.2Runge-Kutta方法龙格-库塔（Runge-Kutta)方法的一般形式为：此类公式称为r级p阶R-K方法。使局部截断误差为：其中:i,i,ij为待定参数,适当选择参数:i,i,iji=1,2,...,rn=0,1,2,...18二级二阶Runge-Kutta方法适

3、当选择参数:1,2,,,使局部截断误差为：这里仍假定yn=y(xn)(r=2)受改进的Euler方法的启发，可设：★19二级Runge-Kutta方法由二元函数Taylor展式得：由一元函数Taylor展式得：★20二级二阶Runge-Kutta方法与Taylor展式相比较得：由于有四个参数，只有三个方程，因此有一个自由参数，即解（计算格式）不唯一。★21展开Taylor公式到二阶微分22二级R-K公式的阶由R-K公式：对比Taylor展式：23Runge-Kutta方法的其他问题248.4线形多步法线性多步法一般形式

4、可设为：（8.4.1）25基于Taylar展开式的方法261、四阶Adams显示格式故：27