对坐标曲面积分(VIII)

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1、一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面规定法向量的方向来区分曲面的两侧.莫比乌斯带典型单侧曲面:播放曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:类似地,可定义在yOz面及zOx面的投影:希自己写出在xOy面上的投影在xOy面上的投影区域的面积附以一定的实际上就是正负号.的二面角.二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.1.分割则该点流速为.法向量为.2.求和3.取极限三、概念及性质被积函数积分曲面类似可定义存在

2、条件:组合形式:物理意义:性质:四、计算法注:当曲面Σ母线平行于z轴的柱面时,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.解极坐标计算对坐标的曲面积分时:(1)认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为这两个变量的函数,并确定Σ的投影域.(2)将Σ的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.(3)根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.一投二代三定号例其中Σ是所围成的正方体的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3先计算由于平面都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.解三个坐标面与平面外侧.Σ1x=a面在yOz面上的投影为

3、正,而x=0面在yOz面上的投影为负.投影域均为:0≤y≤a,0≤z≤a,故由x,y,z的对等性知,所求曲面积分为3a4.后两个积分值也等于a4.Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ1五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式28上侧为正,下侧为负化为二重积分一投二代三定号向量的点积法(合一投影法)29前侧为正,后侧为负若光滑有向曲面Σ由方程x=x(y,z)给出,Σ在yOz面上的投影区域为Dyz,函数x(y,z)在Dyz上具有一阶连续偏导数,则化为二重积分30若光滑有向曲面Σ由方程y=y(x,z)给出,Σ在xOz面上的投影区域为Dx

4、z,函数y(x,z)在Dxz上具有一阶连续偏导数,则化为二重积分右侧为正,左侧为负解Σ在xOy面上的投影区域为Dxy:对称性例其中Σ解法一直接用对坐标的曲面积分计算法.且其投影区域分别为由于Σ取上侧,在第一卦限部分的上侧.面的投影都是正的,取上侧òò-+--1010d)222(dxyxyxx法二利用向量的点积法计算.Σ取上侧,锐角.则法向量n与z轴正向的夹角为六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”3、两类曲线积分之间的联系向量的点积法(合一投影法)思考题思考题解答此时的左侧为负侧，而的左侧为正侧.

5、练习题练习题答案