自动控制原理 李明富及答案 第四章根轨迹法 4.1

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1、第四章根轨迹法8/4/20211本章主要内容根轨迹的基本概念根轨迹的绘制准则特殊根轨迹利用根轨迹分析闭环系统用MATLAB绘制根轨迹8/4/20212根轨迹意义概述我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。利用根轨迹法，可以：分析系统的性能确定系统的结构和参数校正装置的综合

2、8/4/20213第一节根轨迹的基本概念8/4/20214根轨迹定义[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。例：如图所示二阶系统，-特征方程为：闭环传递函数：系统开环传递函数为：特征根为：8/4/20215根轨迹定义特征根为：[讨论]：①当K=0时，s1=0,s2=-2,是开环传递函数的极点②当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6③当K=0.5时，s1=-1,s2=-1④当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j⑤当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥

3、当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j8/4/20216根轨迹基本概念系统的结构图如下：-闭环传递函数为：开环传递函数为：将写成以下标准型，得：8/4/20217根轨迹定义闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：的根。[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。8/4/20218根轨迹的幅值和相角条件上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。[一些约定]：在根轨迹图中，“”表示开环极点，“”表示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“”表示

4、根轨迹上的点。我们先以根轨迹增益（当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。8/4/20219[例4-1]如图二阶系统，当Kg从0→∞时绘制系统的根轨迹。-[解]闭环传递函数：特征方程和特征根：[讨论]：①②③④⑤根轨迹解析法绘制8/4/202110根轨迹解析法绘制[总结]当从0变化到时，系统的根轨迹是连续的。的点称为起点，的点称为终点。本例中有两个分支，终点都在无穷远处。这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高阶系统，求根困难，需用图解法画图。复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中，A点在根轨迹上吗？向量s和s+1的

5、相角分别为根据相角条件(试探法)：显然，只有三角形OAB是等腰三角形时，，A点在根轨迹上。点显然不在根轨迹上。AB8/4/202111[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在某一增益的情况下绘制的）。P112,F4-5180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨迹方程，每一点对应一个。由于180度等相角根轨迹上的任意一点都可通过幅值条件计算出相应的值，所以直接称180度等相角根轨迹为根轨迹。在根轨迹上的已知点求该点的值的例子。上例中，

6、若A点的坐标是0.5+j2，则根据幅值条件：8/4/202112小结根轨迹定义根轨迹的幅值条件和相角条件180度等相角根轨迹，等增益根轨迹相角条件的表示，幅值条件的使用用解析法画根轨迹的方法8/4/202113在线教务辅导网：http://www.shangfuwang.com更多课程配套课件资源请访问在线教务辅导网8/4/202114