推理与证明章末整合

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1、推理与证明章末小结一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合

2、情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)，用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…

3、Bn⇐A，它的常见书面表达是“要证…只需…”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落

4、实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的.【点拨】对合情推理的认识：合情推理包括归纳推理和类比推理．归纳推理是由部分特殊的对象特征得到一般性的结论的推理方法．它在数学研究或数学学习中具有十分重要的意义，通过归纳推理可以发现新知识，探索新结论，探索解题思路，预测答案等．类比推理是从特殊到特殊的一种推理方法，它以比较为基础，类比法有助于启迪思维，触类旁通，拓

5、宽知识面，发现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思路时，类比法往往能指明前进的方向．”特别提醒：(1)归纳推理是由部分到整体，个体到一般的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．(2)进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱比，要对两类对象的共同特点进行对比．1．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2个图形中共有________个顶点．解析：设第n个图形中有an个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，an＝n＋n·n，an－2＝(n－2)2＋n－2＝n2－3n＋

6、2.答案：n2－3n＋2【点拨】数学中考查演绎推理的试题的比例比较大，即有选择、填空，也有解答、证明，立体几何是考查演绎推理的最好素材．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，是一种由一般到特殊的推理．数学中的证明主要是通过演绎推理进行的，演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：大前提、小前提和结论．在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，则结论必定是正确的．[思维点击]2．如图所示，在梯形ABCD中，AB＝DC＝AD，AC和BD是对角线，用三段论求证：CA平分∠BCD.证明：等腰三角形两底角相等大前提△DA

7、C是等腰三角形，DA，DC是两腰，小前提∴∠1＝∠2.结论两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截出的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论等于同一个量的两个量相等，大前提∠2和∠3都等于∠1，小前提∠2＝∠3，结论即CA平分∠BCD.【点拨】(1)综合法和分析法是直接证明中两种最基本的证明方法．但这两种方法证明思路完全相反．综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”．(2)一般情况下是用分析法寻找解题思路，然后用综合法证明问题，它们相互转换、相互渗透、要充分利用这一辨证关系．在解题中

8、综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．[思维点击]条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．【点拨】对反证法的认识(1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，它反映了“正难则反”的思想．(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向