常微分解对初值的连续性和可微性定理

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1、§3.3解对初值的连续性和可微性定理考察的解对初值的一些基本性质解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性内容:yxG图例分析(见右)解可看成是关于的三元函数满足解对初值的对称性:前提解存在唯一例:初值问题的解不单依赖于自变量,同时也依赖于初值.初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动.…………Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？证明则由解的唯一性知,即此解也可写成:且显然有:按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:Q1:解在某有限闭区间[a,b]

2、上有定义,讨论初值的微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小?Q2:解在某个无限闭区间上有定义,讨论初值的微小变化是否仍有解在上有定义,且解在整个区间上变化也很小?这种问题称为解的稳定性问题,将在第六章中讨论.一解对初值的连续性定义设初值问题1.解对初值的连续依赖性初值问题2定理1(解对初值的连续依赖性定理)条件:I.在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足的解,定义区间为[a,b].结

3、论:对,使得当时,方程(1)过点的解在[a,b]上也有定义,且方程0思路分析：根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:3定理2(解对初值的连续性定理)条件:在G内连续且关于满足局部Lips.条件;方程结论:在它的存在范围内是连续的.,作为的函数二解对初值和参数的连续依赖性1解对初值和参数的连续依赖定理2解对初值和参数的连续性定理三解对初值的可微性定理证明因此,解对初值的连续性定理成立,即是方程的解即和于是设即是初值问题的解,根据解对初值和参数的连续性定理则的解,不难求得即和于是即是初值问题的解,根据解对初值和

4、参数的连续性定理的解,不难求得初值问题例1解由公式得