2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文12

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1、太阳影子定位研究模型摘要本文针对太阳影子定位问题,通过非线性最小二乘拟合模型、最优化问题、CAD软件制图、零点函数等建立数学模型，综合分析求解固定杆的经纬度定位和视频拍摄地点及日期等问题。针对问题一，利用地理学中的太阳高度角公式和几何学知识，建立影子长度变化规律的数学模型，分析影子长度的影响参数有太阳赤纬、地理经纬度和时角，考虑天安门广场当地时间和北京时间的时差，天安门广场正午时刻的北京时间为12.24时，利用此模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。针对问题二，预处理

2、附录1中的坐标数据,计算出不同时间下的影子长度，利用lsqcurvefit函数计算出当地时差，再使用经度公式计算得到当地的经度；非线性拟合影子长度关于纬度、杆长和赤纬三个参数的曲线，将问题转化为最优化问题，利用lsqcurvefit函数算出纬度、杆长和赤纬，位置在北纬19.2858度，东经108.7215度（海南省）。针对问题三，经度和纬度的计算方法与问题二中的一致，利用赤纬计算公式，由赤纬值和零点函数求得日期，得到附件二的测量地位置为新疆省维吾尔族自治区，经纬度坐标是北纬39.8951，经度79.7490，测量日期为2015年6月20日

3、或2015年4月25日；附件三测量地位置为湖北省，经度坐标是北纬32.8472，经度110.2455，测量日期为2015年10月23日或2015年2月6日。针对问题四，通过每两分钟截取一次视频，得到了21张杆子影子图片。使用CAD制图软件分别测量图片中杆子影子的长度，借助比例公式求出实际影子的长度，得到影子长度随时间变化数据；使用问题三中所建立的数学模型对数据进行处理，算出拍摄点的经纬度，位置约在东经111.0135度，北纬42.0732度（内蒙古）。针对问题五，由问题四计算得到的杆子的影长随时间变化数据，使用问题二中建立的数学模型，得到

4、了两个拍摄地点经纬度，由于太阳直射点在春分-秋分作周期运动，对于一个地理坐标可以得到两个日期。从而在拍摄日期未知时，仍然可以根据视频确定出拍摄地点与日期。得出位置经纬度为北纬41.9462度，东经112.8705度（内蒙古），拍摄日期为日期为6月21日或4月25日。关键词：太阳高度角公式最小二乘拟合CAD软件制图零点函数1一、问题重述1.1问题背景影子是由于物体遮住了光线的传播，不能穿过不透明物体而形成的较暗区域，就是我们常说的影子，它是一种光学现象。影子长度与季节、当日时间、物体高度和地理位置等有关，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视

5、频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.2要解决的问题1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,39.907222东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据

6、某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用模型给出若干个可能的拍摄地点。5．如果拍摄日期未知，根据视频确定出拍摄地点与日期。二、问题分析2.1问题的总体分析本题主要通过影子长度的变化和时间确定拍摄地点和日期。建立影子长度随时间的变化曲线，分析曲线最低点，确定时差，从而求出经度；根据影子长度和时间

7、的多组数据，拟合影长关于物体长度、赤纬和纬度的曲线，确定物体长度、赤纬和纬度。而赤纬和日期有关系，通过赤纬可求得日期。通过实际和视频中的影长和物体长度的比例相等的关系，计算出实际物体影长，继而按照上述分析确定拍摄地点的经纬度和拍摄日期。2.2具体问题分析（1）针对问题一，利用天文学知识将太阳光线的照射情况转化为几何知识，建立影子长度变化规律模型，分析影子长度的影响因素，建立影子长度和北京时间的函数关系，用matlab画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2（2）针对问题二

8、，根据附件一中影子长度和北京时间的数据，对影子长度和时间进行拟合，计算出正午时刻的北京时间，算出经度，通过拟合影子长度关于纬度的曲线，从而计算出纬度。（3）针对问题三，问题三比问题二少一个已知