2015全国数学建模竞赛A题一等奖

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1、太阳影子定位摘要视频拍摄地点和拍摄日期的确定在视频数据分析中占据着重要的位置，本文建立了影子长度与日期、时间、经纬度、直杆高度之间的函数关系模型，通过最小二乘估计方法和小孔成像原理来确定视频拍摄的地点和日期。针对问题一，根据太阳与地球之间的物理关系，建立了影子长度关于日期、时间、经度、纬度、杆长5个变量的非线性函数模型一，并讨论了影子长度与这5个变量变化的关系，揭示了5个变量变化对影子长度的影响。把所建立模型应用到问题一中的例子，给出了影子长度关于北京时间9:00-15:00的函数关系，并描绘了影子长度与时间变化曲线图像。针对问题二，首先对太阳影子顶点坐标数据进行处理计算出每个时刻影子长度；其

2、次对模型一进行改进建立了影子长度关于日期、时间、经度、纬度、杆长5个变量的非线性函数模型二；然后根据数据（影子长度和时间）采用最小二乘方法对模型二中未知参数（经度、纬度）进行估计，获得了若干个可能的地点（经度、纬度）；最后讨论了问题二中附件一影子顶点坐标轴的方向，指明了坐标轴确定方向的思路。针对问题三，首先对附件中太阳影子顶点坐标数据进行处理计算出每个时刻影子长度，其次根据数据与模型二，类似采用最小二乘方法对模型中的未知参数（经度、纬度、日期）进行估计，获得了若干个可能的地点（经度、纬度）和日期。针对问题四，引进“虚影子长度”变量，根据小孔成像原理和视频数据得到“虚影子长度”变量各个时刻的大小

3、，并建立了“虚影子长度”关于日期、时间、经度、纬度、杆长、拍摄位置(,)7个参数的非线性函数模型，并采用最小二乘方法对模型中未知参数进行估计，得到杆的位置和若干个可能拍摄的地点。并论证了，如果拍摄日期未知，能根据视频确定出拍摄地点与日期。关键词：最小二乘估计法；非线性拟合；虚影子1一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广

4、场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知

5、，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题分析问题一，由于太阳高度角与直杆高度、影子长度存在三角关系，从这个突破口，我们可以寻找出日期、时间、经纬度、直杆高度、影子长度之间的关系来建立模型。通过改变一个参数，确定其它参数来分析影子长度与各参数之间的关系。根据问题中给定的参数值就可以求解出直杆的太阳影子长度的变化曲线。问题二，因为问题中所涉及的参数与问题一是一样的，通过问题一的模型，利用已知参数，可以将对未知参数的求解问题转化成最小二乘估计问题，并确定当满足条件时，所得参数值即为所求。关于坐标系的问题，先假定坐标系的方向，计算出方位角，根据方位角与附件1中数值的关系，旋转坐标系使得参数与附件

6、21中数值一致，此时的坐标系方向即为附件1中坐标系的方向。问题三，问题三是在问题二的基础上，待求参数增加了一个日期，所以可以依照问题二的方法求解。问题四，第一小问分析：首先，对视频的文件进行读取，采用matlab读取视频VideoReader类，将读取出不同时刻直杆在摄像机中成像的直杆像长度h，影子像长度li1，为了能够确定视频的拍摄位置，引入方位角，建立极坐标系。其次，因为摄像机的焦距的大小相对摄像机离杆的距离可忽略不计，所以在这里为了计算简便，把摄像机凸透镜的成像原理转换成小孔成像原理，分别绘制直杆的小孔成像图、影子的小孔成像图。接着，根据几何关系得出各变量的函数关系表达式，最后，利

7、用最小二乘优化方法得出视频拍摄地点的数学模型。第二小问分析：问题“如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？”经查阅百度百科，所谓的“日期”是指约定的日子和时间，日期的标准格式为年月日。对日期的定义比较模糊，有时日期也可以认为指年月日时分。那么针对本问题，我们将分成两中情况。第一种：日期指月日（不考虑平年闰年）、第二种：日期指月日时分。三、符号说明N——从元旦到计算日的总天数h——杆长，