北航数值分析b第一章

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1、§2向量，矩阵范数，矩阵的条件数线性方程组，解的形式均为向量，如近似解该近似解的误差估计如何？解方程组以及研究与探讨方程组本身性质的工具。向量、矩阵与线性方程组有着密切的关系，向量、矩阵范数是定义9（向量范数）（1）正定性（2）齐次性（3）三角不等式1、向量范数的定义2、常用的向量范数定义10称为向量的能量范数。（1）向量的“∞”范数：（2）向量的“1”范数：（3）向量的“2”范数：（4）向量的能量范数：3.范数的等价性定理20证明：于是有(1)(2)注：(3)定义13（矩阵范数）的某个非负实值函数若

2、对任意的n×n矩阵A，B满足下述条件：由于在许多应用问题中，矩阵和向量是相联系的，现引进一种和向量范数是相容的，即对有不等式（1）正定性：（2）齐次性：（3）三角不等式：矩阵的算子范数。它是由向量范数诱导出来的，并且这种矩阵范数矩阵范数与向量范数的相容性条件四、矩阵的范数的Frobenius范数，称为A2、矩阵的算子范数且有一向量范数相应的定义一个矩阵的非负函数：（最大比值）为矩阵A的关于向量范数定理22向量范数，则上一个矩阵范数且满足相容条件：的算子范数或诱导范数。定义14(矩阵的算子范数)（i）因

3、为证明：一个矩阵范数(满足三个条件)，（ii）（iii）以下证明满足相容性：（1）（2）由x的任意性知诱导范数的矩阵相容性诱导范数与其相应的向量范数相容定理23（矩阵范数公式）A的行范数Ａ的列范数Ａ的“2”范数或Ａ的谱范数3、矩阵范数公式每个向量范数，都可相应地定义一个矩阵范数，常用的诱导范数的计算方法由定理23给出。分析：（1）的证明分两步，一证二证明存在证明:对任何向量，则有如果能找到一向量那么，定理得证。且由（9.1）式有下面来寻求使比值等于，由此，应选取（3）（2）证明与（1）相似。正交性所以

4、因为另一方面，因而所以又所以例：例：如：1、矩阵的算子范数是矩阵范数，定理22矩阵范数不一定是算子范数。说明：4、矩阵范数的等价性定理24定义25（矩阵的谱半径）的特征值为为A的谱半径。定理25（特征值界）为满足矩阵、向量相容性条件的矩阵范数（算子范数）。为对称矩阵，则五.谱半径2.特征值界证明（1）设为A的任一特征值，于是，存在9.2矩阵的条件数，病态方程组设有线性方程组而需处理的实际矩阵是由此，需要研究方程组数据A,b的微小误差（扰动）对解x的影响，即考虑方程组估计问题。向量是的解y和x的差的问题

5、：1）方程组是否有解？2）解的精确度如何？若为A的特征值，(2)则为A2的特征根，又A为对称矩阵，则ATA=A2,且ATA也是对称的，例12设有方程组精确解讨论方程组常数项相对误差：解的相对误差为：说明：由于常数项微小误差引起解的相对误差较大，是常数项相对误差的10000倍，也就是说，此方程组解对方程组的数据A，b非常敏感，这样的方程就是病态方程组。对于什么样的方程组是病态方程组，若按以上例子来讨论太麻烦，因此我们从原方程出发讨论刻划方程组病态的量，即扰动分析。1.实例定理27为非奇异矩阵，x为精确解

6、，则b微小误差(扰动、摄动)引起解x的相对误差有估计式：上式说明，常数项b微小误差引起解的相对误差可能是即上式的不等号中的等号可以成立。说明：定理28则矩阵A微小误差引起解的相对误差有估计式：(1)由定理28，当充分小,即A的相对摄动引起解的相对误差就愈小；引起的解的相对误差就可能愈大。因此，在某种程度上刻画了解对问题数据敏感程度。也可以说成用来描述方程组本身的一种性质，它影响到解的为非奇异矩阵，x为精确解，说明：可能被放大误差引起解的相对误差可靠程度。定义16称为矩阵A的条件数（ConditionN

7、umber）。A的谱条件数（即取）当A为对称正定矩阵时，其中A特征值为注：条件数性质由于(3)A为正交矩阵，则(4)设A为非奇异矩阵，P为正交矩阵，则事实上，由于事实上，由于事实上，由于（5）A为对角方阵相似相似相似相似(4)设A为非奇异矩阵，P为正交矩阵，则事实上，由于注:2、由性质（4）知用正交变换约化矩阵是合理的。例（计算机判断结果）。有精确解。4.病态方程组定义17为非奇异矩阵。当A的条件数相对的大是病态方程组或A是病态的，当A的条件数(3)A为正交矩阵，则是好条件的。1、由性质(3)知正交矩

8、阵方程组3、用条件数，即积作为方程组好条件或坏条件的一种度量。而不能用行列式的值来刻画方程组条件的好坏。（或坏条件的），方程组（或好条件，或A是良态的）。相对的小，是良态（1）条件数与A及有关，因此方程组是病态的或良态无关。（2）矩阵的条件数愈大，方程组病态程度愈严重，也就愈难用普通计算方法求得比较精确的解。例Hilbert矩阵（著名的病态矩阵）。例13设有方程组解容易计算所以说明：的，只与A有关，也即是方程组本身固有的，与解的方法因此,该方程组是病态方