北航数值分析作业2

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1、VV数值分析>>计算实习题目二一、题目:试用带双步位移的QR分解法求矩阵A=[^]1Oxio的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求和应的特征向最。己知(门=1,2,…，10)[sin(0.5z+0.2j)i丰jci：：—)[1.5cos(z+1.27)i=j说明：1、求矩阵特征值时，要求迭代的精度水平为£=10一2。2、打印内容:◊算法的设计方案。◊全部源程序(要求注明主程序和每个子程序的功能)。◊矩阵A经过拟上三角化后所得的矩阵刃"宀。◊对矩阵A(w-°进行QR分解方法结束后所得的矩阵Q,R和RQ。◊矩阵A的全部特征值人(尺,厶)(心1,2,…,

2、10)，其中K=Rea)/=Im(&),如果人是实数,则令/•=0o◊A的相应于实特征值的特征向量。3、采用e型输出数据，并且至少显示12位有效数字。二、算法设计：1、输入需要求解的矩阵：首先输入需耍求解的矩阵。即为下述程序中的voidcreate_matrix()子程序完成。2、实矩阵的拟上三角化：为了减少求特征值和特征向量过程屮的计算量，在对矩阵进行QR分解前先进行拟上三角化。由于矩阵的QR分解不改变矩阵的结构，所以具有拟上三角形状的矩阵的QR分解可以大大极少计算量。在下述程序中用voidnshsjO了程序來实现。具体算法设计实现过程如下。设4=

3、[6Z..]eRnxn,记A⑴=A,并记A(r)的第r列至第n列的元素为磅)(i=1,2,…j=r,⑴若叩(/=r+2,r+3,..-,H)全为零,则令A(r+,)=A(r),转(5)；否则转⑵.Vr»r+l(2)计第c,=-sgn(a^lr)dr(若a；：：,.=0,则取c;=<)r+1,•••,/!)T对=1,2,…，刃一2执彳亍:⑶令冷=(0,…,0,a(pr=A(r)Tur/hrq严A(%/%h=P；坷仏(Or=qr-tru,.(4)计算⑸继续。当此算法执行完后，就得到与原矩阵A相似的拟上三角矩阵A(M+1)。3、矩阵的QR分解,具体程序实现

4、由voidQRfenjieO完成。ii!A]=A,并记4=[d)，令Q=1⑴若常)(心r+l』+3,…/)全为零,则令Qr+i=QrA+i=A＞转⑸；否则转⑵.(2)计算对于r=l,2,---,/7-l执行:Vi=FCr=一sgn(a；：))d「(若aj=0,则取°=djh「Y-c心⑶令冷…“di，…4；))1疋仏=QnQ+i=2-©力仏pr=Ajur/hr4+i=£-询(4)计算⑸继续。当此算法执行完后，就得到正交矩阵Q二Qn和上三角矩阵R=An,且有A=QRo3、带双步位移的QR方法求特征值，具体程序实现由voidQRshwyfj()完成。使用

5、带双步位移的QR方法求实矩阵AWR""全部特征值的具体算法如下：(1)将AwR,,x/,化为拟上三角矩阵A(/I+,)；给定精度水平£〉0和迭代最大型次数L。(2)记人=右)=[硝)]ZJXM,令k=,m=n.（3）如果磴I",则得到A的一个特征值a篇,置m:=m-1（降阶）,转（4）；否则转（5）。（4）如果m=1,则得到A的一个特征值谢），转（11）；如果m=0，则直接转（11）；如果m>l,则转（3）。（5）求二阶子阵a(k)mmDk=的两个特征值耳和$2，即计算二次方程(醴g+a驚M+detq=O(6)如果m=2,的两个根®和归。则得到A的

6、两个特征值®和①，转（11）；否则转（7）。（7）如果a黒”2，则得到A的两个特征值©和置m:=m-2（降阶）,转（4）；否则转（8）。（8）如果k=L,则计算终止，未得到A的全部特征值；否则转（9）。（9）记硝）］加），计算S-+amm伙）仏）后）

7、:(1)若曙(—+"+2,…，加)全为零,则令Br+l=B,,Cr+1=C,,转(5)；否则转(2)0（2）计算c严-sgn（b；；M（若曙=0,则取cr=dr）—；；）⑶令””（。，…，。，砒-小砒”…屈?）,©。q=BTrurIhrPr=/hr（4）计算彳乞=Crur/hr=PM/hr©=乞—仏G+l=G-©"I-UrP}（5）继续。此算法执行完后，就得到Aa,+1=C,”。4、列主元的高斯消去法求相应于实特征值的特征向量，具体的程序实现由solvetzxl完成。根据特征值和特征向量的定义，设AeRlixn,兀是和应于特征值几的特征向量，则有Ax

8、=Axf即得（A/-/l）x=0用列主元的高斯消去法解方程组则得特征向量兀。设B=[fo,]MXn=（2/-