北航数值分析作业二

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1、数值分析作业二一、算法的设计方案1、矩阵的拟上三角化矩阵的拟上三角化可采用Householer矩阵变换得到，具体的计算方法如下:记A⑴二A,并记A⑺的第r列至第n列的元素为ajj(i=l,2,n；j=r,r+1,…，n)o并对r=l,2,…,n・2执行：(1)若aiQ(in+2,r+3,・・・，n)全为零，则另A=A(r>,转(5)；负责转(2)。(2)计算dr=j丈®?FV/=r+l=-sgn(6Z^r)t/r(若=o,则取=<)/2(r)hr=Cr-CM,r(3)令ur=(0,...,0,。乩一弘。；：］/,…，eRn(4)计算pr=A(r}1ur/hrqr=A{

2、r)ur/hrcor=qr-trur^=A^-corurr-urPrr(5)继续。当次算法执行完后，就得到与原矩阵A相似的拟上三角阵A5」。2、矩阵的QR分解矩阵的QR分解的具体计算方法如下：记A⑴二A,并记A⑺的第r列至第n列的元素为ajj(i=l,2,n；j=r,r+1,…，n)o令Qi=I(n阶单位矩阵)。对于r=l,2,…，ml执行：(1)若air

3、r=(0,...,0,小？一弘昭门…,J丘R"(4)计算©=QrUrQE=Q(「)_%；/山Pr=严)A(r]Tur/hr(5)继续。当此算法执行完成后就得到正交矩阵Q=Q(n和上三角阵R=A(n),且有A=QRo3、带双步位移QR分解(1)采用拟上三角化方法将矩阵A拟上三角化得到矩阵A5小。(2)记Ai=A=[a⑴必恤,令k=l,m=no(3)若I错爲IS"则得到一个特征值>m=m-l(降阶)，转(4)；否则转(5)o(4)若m=l,则得到一个特征值晡)，转(11)；若m>l,则转(3)。(5)求以下二阶子阵的两个特征值si和s2。卅)mjTiDk(6)若m=2,则得到2个特征值

4、si和s2,则转(11),否则转(7)。(7)若Im_2l<6：,则得到两个特征值si和s2,Km=m-2(降阶)，转(4)；否则转(8)o(8)若k二L,则终止计算，未得到全部特征值；否则转(9)。(1)计算Mk=Ak~s+〃Mk=QR——对Mr作QR分解A“]=Q：AkQk(2)置k=k+l;(IDA的特征值全部计算完毕，停止计算。其中对Mk的QR分解采用以下的算法：记B

5、=Mk，C

6、=Ak,对于r=l,2,・・・m・l执行：1)若bir(r>(i=r+l,r+2,-,m)全为零，则另B

7、?)dr(若b；?=0,则取c;=dr)(3)令舛=(0,…,0,对？-c〃乩⑷计算vr=B^ur/hrBr^=Br-urvTrpr=C^ur/hrqr=Criir!hrTtr=prur/hrc冲=C「_◎•叮_u「p：(5)继续。此算法执彳亍完后，就得到Ak+i=Cmo4、计算实值特征值对应的特征向量构造矩阵B=A-XI,解方程Bx=O,解x即为特征值入对应的特征向量。采用列主元素Guass消除法求解方程Bx=O,采用Gauss法的过程屮化成上三角阵的最后一个方程为BJXnn"不妨取Xnn=1,然后再迭代求解。二、所有源程序为实现计算木题口所完成的程序主要分为以下两大部分：1.an

8、alysis2.h与analysis2.cppAnalysis2.cpp中包含了本题目屮所要使用的各种算法的子程序，analysis2.h为其头文件。2.numerical_analysis2.cpp主程序通过包含了头文件analysis2.h,可以使用analysis2.cpp屮各种算法的子程序，在主程序值调用相应功能子程序完所有的计算，并将计算结果按要求输出。以卜•为所有源代码：analysis2.h：#ifndefANALISIS_H_H#defineANALISIS_H_H#definen10#defineerrorle-12#defineLle8structcomplex{

9、doublereal;doubleimag;}；externvoidCreate_Matrix_A(double(*a)[nj);externvoidMatrix_A_Mul_Matrix_B(double(*a)[n],double(*b)[n],intm,double(*x)[n]);externvoidMatrix_A_Sub_Matrix_B(double(*a)[n],double(*b)[n],intm,double(*x)[n]);exter