数列经典讲义(教师版)

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1、探索者研发学习中心数列和数列的练习一、数列及其相关概念1．数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．2．数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项（首项），第项，…，第项．数列的一般形式可以写成：或简记为，其中是数列的第项，又称为数列的通项．3．数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个函数式来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．4．数列的分类数列的分类方式一般有三种：（1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；（2）从第项

2、起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第项起，每一项都比它的前一项小的数列称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项；（3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列．5．数列的表示方法数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集）的一类特殊的函数，数列的通项公式也就是函数的解析式．数列的表示方法通常有三种：（1）通项公式法（对应函数的解析式法）；（2）图象法

3、（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）；（3）列表法．6．数列和函数、集合的区别（1）数列和函数：数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数．（2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的7．数列的递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项与它的前一项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．8数列的前项和数列的前项和定义为：．数列的前项和

4、构成了一个新的数列，且．Cxiaojun-16-探索者研发学习中心一、数列的基本概念1.（2010年东城一模7）已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）A．B．C．D．2.（2011年海淀二模5）已知正项数列中，，，，则等于（）A.16Ｂ.8Ｃ.Ｄ.43.数列满足，则等于（）A．B．C．D．-34.（2011年东城区期末理11）在数列中，若，且对任意的正整数都有，则的值为　　　　　　．5.（2010年东城二模6）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．（2，3）D

5、．（1，3）6.已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立．数列满足，且．则数列的通项公式__________________．Cxiaojun-16-探索者研发学习中心二、数列的递推公式1.（2006年重庆12）在数列中，若，则该数列的通项2.数列中，，对所有的，都有，求数列的通项公式．3.若数列中，，且（是正整数），则数列的通项公式时4.已知数列，满足，则的通项5.求满足下列条件的数列的通项公式（1）已知满足求（2）已知满足，且，求Cxiaojun-16-探索者研发学习中心二、与的关系1.（2011年四

6、川9）数列的前n项和为，若，则（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+12.设数列的前n项和为则=______3.已知下列个数列的前项和的公式，求的通项公式（1）；（2）；（3）4.已知下列个数列的前项和的公式，求的通项公式（1）（2）Cxiaojun-16-探索者研发学习中心等差数列二、等差数列1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．用递推公式表示为an-an-1=d(n³2)

7、或an+1-an=d(nÎN*)．2．等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d．3．等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．其中．说明：a，A，b成等差数列Û．4．等差数列的前n和公式：．5．等差数列的性质：(1)在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等差中项．(2)在等差数列{an}中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列．如：a1，a3，a5，a7，…；a3，a8，a13，a18，…．(3)在等差数列{an}中，对任意m，nÎN*，an=

8、am+(n-m)d，(n¹m)．(4)在等差数列{an}中，若m+n=s+t(m，n，s，tÎN*)，则am+an=as+at．(5)等差数列{an}中，公差为d，若d>0，则{an}是递增数列；若d=0，则{an}是常数列；若d<0，则{an}是递减数列．6．数列最值：(1)a1>0，d<0时，Sn有最大值；a1<0，d>0时，Sn有最小值．(2)Sn最值