椭圆培优经典讲义(教师版).docx

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1、圆锥曲线与方程第一节椭圆考点一椭圆的定义及应用1.(2009年北京卷,理12)椭圆的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.若PF1=4,则PF2=,∠F1PF2的大小为. 解析:由椭圆方程可知a2=9,b2=2,∴c2=7,c=,a=3.由椭圆定义知PF1+PF2=6,由PF1=4,得PF2=2.在△PF1F2中,由余弦定理的推论有cos∠F1PF2===-.∴∠F1PF2=120°.答案:2120°2.(2012年四川卷,理15)椭圆的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是. 解析:由椭圆定义可知,当直线x=m过椭圆右焦点(1,

2、0)时,△FAB的周长最大.由椭圆方程知a=2,c=1.当x=1时,由,得y=±.∴S△FAB=×(2×)×(1+1)=3.答案:33.(2009年上海卷,理9)已知F1、F2是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,若△PF1F2的面积为9,则b=. 解析:由题意可知,=9,①=(2c)2,②由椭圆定义可知,PF1+PF2=2a,③联立①②③解得a2-c2=9,即b2=9,∴b=3.答案:3考点二椭圆的方程及其简单性质应用 1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理10)已知椭圆E:(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A、B两点.若AB的中

3、点坐标为(1,-1),则E的方程为()(A)(B)(C)(D)解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点D(1,-1),则kAB=,x1+x2=2,y1+y2=-2,两式相减得:+=0,即=-,即=,∴a2=2b2.又因c=3,所以b2=9,a2=18,椭圆方程为.故选D.答案:D2.(2011年新课标全国卷,理14)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1、F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A、B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为. 解析:设椭圆标准方程为(a>b>0)

4、,由题意知BA+BF2+AF2=BF1+BF2+AF1+AF2=4a=16,∴a=4,由e==得c=2,∴b2=a2-c2=8,∴椭圆标准方程为.答案:3.(2011年江西卷,理14)若椭圆的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是. 解析:设点D,由平面几何知识易知,AB⊥OD,∴kAB=-2.设AB方程为y=-2x+m.又过点作圆x2+y2=1的切线中有一条是x=1,不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入AB方程,可得m=2.由题意可知,b=2,c=1,∴a2=5.∴椭圆方程为.答案:考点三椭

5、圆离心率的求法 1.(2012年新课标全国卷,理4)设F1,F2是椭圆E:(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,设直线x=a与x轴的交点为Q,由题意可知,∠F2F1P=∠F1PF2=30°,PF2=F1F2=2c,∴∠PF2Q=60°,∠F2PQ=30°.∴F2Q=PF2.即a-c=·2c,∴e==.答案:C2.(2013年福建卷,理14)椭圆Γ:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠M

6、F2F1,则该椭圆的离心率等于. 解析:直线y=(x+c)过点F1(-c,0)且倾斜角为60°,所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以∠F1MF2=90°,所以F1M⊥F2M,在Rt△F1MF2中,MF1=c,MF2=c,所以e=====-1.答案:-13.(2013年辽宁卷,理15)已知椭圆C:(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若AB=10,AF=6,cos∠ABF=,则椭圆C的离心率e=. 解析:如图所示,由AB=10,AF=6,cos∠ABF=,得BF=8,则AF⊥BF,半焦距c=FO=AB=5.设椭圆

7、右焦点为F2,由对称性知AF2=BF=8,a=7,所以e==.答案:考点四直线与椭圆的位置关系 1.(2014高考新课标全国卷Ⅱ,理20)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且MN=5F1N,求a,b.解:(1)根据c=及题设知Mc,,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2.(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y