[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-3

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1、§3逆矩阵概念的引入代数运算中，若a0,则E的作用与数1相同.矩阵运算中,对n阶单位方阵E，有AE=EA=A.AB=BA=E.问题1：对n阶方阵A能否找到矩阵B使得问题2：如果存在这样的矩阵B，A满足什么条件时才能找到(数量?)，利用A如何求B.那么A称为可逆矩阵,B称为A的逆矩阵.例设2.定义中的A和B的地位是平等的,所以B也是可逆矩阵,并且A是B的逆矩阵.定义设A是n阶方阵,若有一个n阶方阵B使得注意1.可逆矩阵一定是方阵,并且它的逆矩阵亦为同阶方阵;由:所以逆矩阵是唯一的.根据逆矩阵的唯一性,可记B=A-1.于是A是可逆矩阵,则有矩阵A-1,满足我们知道

2、不是任何一个n阶方阵都是可逆矩阵.下面即将要研究矩阵是可逆矩阵的条件.如果A可逆,又怎样求A-1?定理3.1若A是一个n阶可逆矩阵,则它的逆矩阵是唯一的.证设A有两个逆矩阵B与C,即:证明定理3.2n阶方阵A可逆的充分必要条件是

3、A

4、0,即A为满秩矩阵.并且当A可逆时，有其中Aij为A中元素aij的代数余子式，称为A的伴随矩阵.必要性因为A可逆,因此A–1存在，且这样

5、A

6、

7、A–1

8、=

9、E

10、=1因此

11、A

12、0.充分性.当

13、A

14、0时按逆矩阵的定义得证毕注意伴随矩阵各元素位置与原矩阵的不同.定理不但给出了矩阵可逆的条件，并提供了一种求逆矩阵的方法.例1求方阵的逆

15、矩阵.解：因此A可逆.判断A是否可逆.例2设问a,b,c,d满足何条件时,矩阵A可逆?当A可逆时,求A-1.解:若

16、A

17、0,则A可逆,即ad-bc0时,A可逆.当A可逆时,注意二阶可逆矩阵的逆矩阵的特点.解练习证:推论设A与B都是n阶方阵.若AB=E则A,B都可逆，并且A-1=B,B-1=A.因为AB=E，所以

18、A

19、

20、B

21、=

22、E

23、=1.从而

24、A

25、0,

26、B

27、0.因此A,B都可逆.这样A-1,B-1存在，于是A-1(AB)=A-1EB=A-1.同理B-1=A.性质1若A可逆，则A-1可逆，且(A-1)-1=A.性质2若A,B可逆,则AB可逆,且(AB)-1

28、=B-1A-1.性质3若A可逆,则性质4若A可逆,则(A-1)=(A)-1.逆矩阵的性质性质5若A可逆,数k0,则特别当k=–1时,(–A)-1=–A-1.性质6若A可逆,则A*可逆,并且性质8若A可逆,k为正整数,则(Ak)-1=(A-1)k.性质7若A可逆,则(A*)-1=(A-1)*.例3设B为可逆矩阵,且满足A2+AB+B2=0.证明A与A+B都是可逆矩阵.在有关逆矩阵的证明中,这是一类具有代表性的题目,一般做法是将所给的等式进行恒等变形,使要证明的可逆矩阵的乘积为一已知可逆矩阵.或者单独考察每一部分.证明A2+AB+B2=0A(A+B)=–B2

29、(取行列式)

30、A

31、

32、A+B

33、=

34、–B

35、

36、B

37、0(已知B可逆)

38、A

39、0,

40、A+B

41、0A与A+B都是可逆矩阵.练习设方阵A满足A2–A–2E=0,证明A,A+2E都可逆,并求其逆矩阵.解:由A2–A–2E=0A(A–E)=2E

42、A

43、

44、A–E

45、0A可逆,且A-1=(A–E)/2.由A可逆及A+2E=A2A+2E可逆.(A+2E)-1=(A–E)2/4或(3E–A)/4.例4设A为满秩方阵,且AB=0.证明:B=0.证明A是满秩矩阵即A是可逆矩阵,这样A-1(AB)=A-1•0=0.另外A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B.因此B=0.在矩阵乘

46、法之中我们知道若AB=0一般不能得到A或B中至少有一个为零矩阵.但当A,B之中有一个为满秩方阵时,由本例证明,另一个一定为零矩阵.在以后的学习中我们还会得到更一般的结论.我们通过矩阵乘法建立了线性方程组与矩阵的联系.即AXb线性方程组可记为AX=b.对线性方程组AX=b,若A为可逆方阵,则方程组有唯一解,可得X=A-1b.例5解线性方程组解写成矩阵形式有因此A可逆.所以方程组的解为x=3,y=4,z=3/2.例6设解于是解练习