用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充

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1、用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充摘要：等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，利用等价无穷小代换求极限可以简化计算。分析了学生用等价无穷小代换求极限的常见错误；探讨了极限式中的和差项用等价无穷小代换的条件，并给出了相应的实例。关键词：等价无穷小；代换；极限等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，恰当地选择要代换的无穷小，可以简化计算，因而也倍受青睐，但学生在应用时玩玩会出现一些常见的错误，下面就错误的根源做了相应的理论分析，并对等价无穷小代换定理做了一些补充，解决了困扰学生的问题，对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意

2、义。为了叙述方便，在以下讨论中，极限过程都指同一个变量的变化过程。若=1，则称与是该过程中的等价无穷小，记作~。关于等价无穷小代换，最常用的定理是：定理1设~，，且存在，则存在，且=。推论1设~，，且存在，则存在，且=。推论2设~，且存在，则存在，且=。有上述定理及其推论可知，等价无穷小的代换，是分子或分母的整体代换，或分子、分母的分因式代换，是对极限式中的积商因子的代换，这是很多教材中都会提到的。学生在利用等价无穷小代换计算极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚代换的原理及对象，另外就是对无穷小的等价概念不清楚。见下例。例1：错解：

3、当时，，，故有以下几种错误的结果;(1)==0；(2)==；（3）==。分析：以上错误在于对极限式中的无穷小进行了无条件的代换，若要依据定理1及其推论来解，必须是对分子或分母进行整体代换，或者通过恒等变形后对其中的积商因子进行代换。如下：正解：当时，，，===。例2：解：==分析：此法是利用洛必达法则求解型不定式；有学生用等价无穷小代换来解，得：当时，，，故==，于是错误的得出结论：极限式中的和差项也可无条件的用等价无穷小换来求解极限。关于和差项能否用等价无穷小代换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况下不能随意使用。这就会使

4、学生产生困惑，例2中的和差项为什么进行等价无穷小的代换后结果正确，不知道问题出在哪里。为解决学生的困惑，下面就和差项的等价无穷小代换做一些补充。定理2设~，，且，若，则；若，则。证明：若，==因为，所以，又定理1，，所以==1，即；同理，若，====1，即。推论设~，，，，且，，为常数，则当存在时，有=。证明：=；=由定理1及其推论得，，=，所以=，=，所以=。利用定理2及其推论，上述例2可解如下：当时，，，故==，所以===上例说明：和差项并不是绝对不能做等价无穷小代换，只要注意验证定理条件满足即可。例3：此题若用洛必达法则求，需连续

5、使用两次才能求解出结果，花费时间长，而且求导过程中极易出错；若用等价无穷小代换求解，过程简单明了，解如下：当时，，，故==；=；所以===总而言之，恰当地使用等价无穷小代换求极限，可以简化计算，但是代换前要验证定理满足的条件。参考文献：[1]同济大学应用数学系，高等数学[M].第五版.北京高等教育出版社,2002,58[2]魏国祥,张隆辉,成明山.关于等价无穷小替换求极限方法的推广[J].四川教育学院,2008,24(5):111-112[3]吴维峰.对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨[J].潍坊教育学院学报,2008,21(2)

6、:22~23