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1、二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用解法及应用一、两类二阶微分方程的解法第十二章一、两类二阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解2.二阶线性微分方程的解法常系数情形齐次非齐次代数法欧拉方程练习题:P327题2;3(6),(7);4(2)；8解答提示P327题2求以为通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P327题3求下列微分方程的通解提示:(6)令则方程变为特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思考若(7)中非齐次项改为提示:原方程通解为特解设法有何变化?
2、P327题4(2)求解提示:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定?P327题8设函数在r>0内满足拉普拉斯方程二阶可导,且试将方程化为以r为自变量的常微分方程,并求f(r).提示:利用对称性,即(欧拉方程)原方程可化为解初值问题:则原方程化为通解:利用初始条件得特解:特征根:例1.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定A,B,得得处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:例2.且满足方程提示:则问题化为解初值问题:最后求得思考:设提示
3、:对积分换元,则有解初值问题:答案:的解.例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:由初始条件得故所求初值问题的解为二、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题3
4、.分析解所包含的实际意义例4.解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:②(G为引力系数)则有初值问题:又设卫星的初速度③代入原方程②,得两边积分得利用初始条件③,得因此注意到为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即④代入④即得这说明第二宇宙速度为求质点的运动规例5.上的力F所作的功与经过的时间t成正比(比例系数提示:两边对s求导得:牛顿第二定律…为k),开方如何定+–?已知一质量为m的质点作直线运
5、动,作用在质点例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.解:建立坐标系如图.设在时刻t,链条较长一段下垂xm,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律,得由初始条件得故定解问题的解为解得当x=20m时,(s)微分方程通解:思考:若摩擦力为链条1m长的重量,定解问题的数学模型是什么?摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间
6、的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(95考研)提示:建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律重力浮力阻力注意:初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量m体积B得备用题有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式2.(1)验
7、证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解:(1)(02考研)所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为代入初始条件可得故所求级数的和
