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1、高阶微分方程应用习题课第七章微分方程二、二阶微分方程的实际应用一、两类高阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法2.二阶线性微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法1.可降阶微分方程的解法——降阶法令令逐次积分求解2.二阶线性微分方程的解法常系数齐次情形——代数法特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.2.二阶线性微分方程的解法常系数非齐次情形——代数法为常数其中为实数,为m次多项式.1）此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.当是特征方程的k重根时,可设特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.2.二阶线性微分方程的解
2、法常系数非齐次情形——代数法为常数2）型则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.的解.例1设函数内具有连续二阶导1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解上式两端对x求导,得1)由反函数的导数公式知(2003考研)代入原微分方程得①2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:由初始条件得故所求初值问题的解为二、微分方程的应用1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分
3、方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义例2解欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:②(G为引力系数)则有初值问题:又设卫星的初速度③②③代入原方程②,得两边积分得利用初始条件③,得因此注意到为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即④代入④即得这说明第二宇宙速度为练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪
4、器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(1995考研)提示:建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律重力浮力阻力初始条件为用分离变量法解上述初值问题得得质量m体积B注意:在闭合回路中,所有支路上的电压降为0.例3有一电路如图所示,电阻R和电∼解列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri;经过L的电压降为因此有即初始条件:由
5、回路电压定律:其中电源求电流强度感L都是常量,解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得∼暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:∼求电容器两两极板间电压练习题联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.解设电路中电流为i(t),的电量为q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板上在闭合回路中,所有支路上的电压降为0‖~串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有‖~如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例4质量为m的物体自由悬挂在一端固定
6、的弹簧上,力与阻力作用下作往复运动,解阻力的大小与运动速度向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手物体在弹性取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).①自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.1）建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力②强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外则得强迫振动方程:力2）解在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律为初始设t=0时物体的位置的定解问题为由1）知,位移满足方程:特征方程:特征根:方程通解:①无阻尼自由振动情况(n=0
7、)利用初始条件得:故所求特解:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)解的特征:方程:特征方程:特征根:小阻尼:nk临界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.大阻尼解的特征:(n>k)1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;即随时间t的增大物体总
8、趋于平衡位置.2)无振荡现象;此图参数:3）的作用，求物体的运动规律.解问题归结为求解无阻尼强迫振动方程当p≠k时,齐次通
