二阶微分方程及其应用

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1、单元2：二阶微分方程及其应用特定目标：1.学习解某些特定二阶微分方程技巧。2.在实际的情况下应用有关建立及解二阶微分方程的技巧。3.能够理解二阶微分方程的解。时间内容教学建议分配2.1分类2此部分是一阶微分方程的延续，主要着重研究下列的方程：dd2yy++p()xq()xy=f(x)dx2dx教师应详加陈述这类方程的特点(如y及其导数为线性，而p、q及f则为x的函数)，并应提供足够例子予学生，帮助他们分辨不同类别的微分方程如齐次线性方程(f(x)=0)，非齐吹线性方程(f(x)≠0)及非线性方程(不能写成上述形式的方程)。在此阶段，教师可介绍一些二阶微分方程的现实生活例子，如系于弹簧的物体的振

2、动，在引力及与速度成正比的阻力作用下的自由下坠运动，及最佳存货水平之定价方针等问题。2.2迭合原理2此原理可用一具体例子说明。例如，让学生证明y=x及dd2yy22y=x是xx−2+=2y0的解，然后继续证明dx2dx2yx=+34x亦为方程的解。尝试几个例子后，教师可引导学生证明迭合原理；但对能力稍逊的学生，则可删去证明部分。教师可省略线性齐次方程的解是线性独立之原理。教师可以用例子引出迭合原理并不适用于非齐次线性d2y方程及非线性的方程，例如在+y=1的方程中，2dxyx=1s+in及y=1c+osx是方程的解，但yx=3(1+sin)及yx=(1++sin)2(1+cosx)皆不是方程的

3、解。学生应从此例子清楚知道迭合原理只适用于齐次线性的微分方程。10时间内容教学建议分配2.3常系数齐次方程4此处只要求学生利用辅助方程(或特征方程)求此类dd2yy方程的解，其它方法并不需要。ab++cy=0的dx2dx解教师可与学生讨论所产生的三种不同结果，即辅助方程有两相异实根，两相同实根，及两复共轭根。对于后者，ux若根是u±vi，则设y=ze，代入，方程可简化为d2z+vz2=0，明显地，z=cosvx及z=sinvx是新方2dx程的解，从迭合原理可得zc=1cosvx+c2sinvx为方程之-ux通解；代入z=ye于上式后，可得出原方程式的解为uxzc=+(c12osvxcsinvx

4、)e。对能力较高的学生，教师可用iθ值等式e=cosθ+isinθ证明上述结果。此部分对以后的学习很重要，所以教师应给予学生充份的练习，使其熟练地掌握求解此类方程的技巧。现实生活的应用可留至2.7节。2.4常系数非齐次方程6教师应清楚解释以下之定理：dd2yyab++cy=f()xdx2dx非齐次线性微分方程的通解是约简的齐次方程(即置的解fx()=0)的通解及该非齐次方程的特解之和。(a)余函数与特别积分教师应对学生强调，为了避兔混乱，一般称约简方程的通解为「余函数」面称非齐次方程的特解为「特别积分」，所以，对非齐次方程来说通解=余函数+特别积分此定理之证明,可留给学生当作练习。11时间内容

5、教学建议分配(b)待定系数法学生只须用待定系数法求特别积分，而不须用逆算子法。教师可利用下表帮助学生记忆多种特别积分yp(x)的试用形式。函数f(x)yp()x的试用形式n2nxaa01++xa2x+?+anx(0)pxpxeAe(p)cpcosxcpsinxApcosx+Bsinpx(ip)cp1cosx+c2sinpx但是教师应提醒学生若上表中括号内之数字是辅助方程的重数为k的根(k=1或2)，则yp(x)的试用形式k应为x倍相对的形式。下列的例子可清楚解释上述重点。例一2dy设+=9cyos2x，则辅助方程之根为±3i，故余函数dx2为ycc=1cos3x+c2sin3x。因为2i不是辅

6、助方程的根，所以特别积分的试用式是yAp=cos2x+Bsin2x。但是，2dy对方程+=9cyos3x，余函数不变，但因3i是辅助dx2方程之根，故此特别积分的试用式应是yxp=(cAos3x+Bsin3x)。在上述两种情况，学生应清楚知道他们必须将yp(x)代入方程方可得出A和B之值。例二2ddyy2设方程+2=x，因0是辅助方程的其dx2dx中一根(另一根为−2)，故特别积分应试12时间内容教学建议分配yx=+(aBx+Cx2)，同样地，可将y(x)代入方程计pp算出A，B和C的值。如果函数f(x)是几个不同类型的函数的线性组合，则学生求此类方程的解时可能有困难，故此，教师应提供一些例子

7、加以说明。例三2ddyy3x设方程−+32yx=4+e，辅助方程的根是1dx2dx和2。因0和3不是辅助方程的根，所以尝试3xyAp=+01Ax+Be。教师应指出AA01+x是相对4x的3x3x特解，而Be是相对e的特解。但是，若方程是dd2yyxx−32+=yx4+e，则因为1(1是e的指数xdx2dx的系数)是辅助方程的根，yp(x)的试用形式应是xyAp=+01Ax+Bxex相对4x相对e为