二阶微分方程的解法及应用文献综述

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1、文献综述二阶微分方程的解法及应用一、前言部分近半个世纪以来，数学的形象有了很大的变化。数学已不再单纯是数学家、物理学家和力学家等人手中的神秘武器，它越来越深入到各行各业中。数学作为工程、自然科学、经济和商业活动中常用的理论与方法，微分方程起着关键的作用。常微分方程是数学类专业的一门应用性较强的基础课，可以说它对先修课程及后续课程起着承前启后的作用，是数学科学理论中必不可少的一个重要环节。常微分方程课程对训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题的能力有着极为重要的作用。同时，微分方程也是理论联系实际的重要数学分支之

2、一，也是自然科学和其他技术科学的重要工具课程。微分方程是一个有着广泛应用的数学分支，它在应用科学的许多领域中，往往既是研究的起点，也是基本的工具。常微分课程通常安排在学习了数学分析、线性代数、解析几何等课程之后，是把这些课程的知识加以结合起来，用于解决数学理论和实际应用中出现的问题；同时常微分方程也为后续的课程如微分几何、泛函分析等作准备。定义：1、常微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。如果在微分方程中自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。2、线性微分方程如果微分方程的左端是关于y

3、及，…,的一次有理整式，则称为n阶线性微分方程。3、解8如果函数y=代入方程后，能使它变为恒等式，此称函数y=为该方程的解。4、隐式解在上式中，如果关系式（x，…,y）决定的函数y=是方程的解，我们称（x，y）为此方程的隐式解。5、通解我们把含有n个独立的任意常数的解y=（x，）称为n阶方程的通解。二、主题部分两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形

4、的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。17世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了微积分8以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他

5、们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从18世纪下半叶到19世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程问题的适

6、定性理论；19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数；19世纪至20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。文献[2]在多年进行常微分方程的研究下，给出了（1）求解各类微分方程的方法；（2）常微分方程的基本理论；（3）常微分方程定性稳定性方法初步并从微分方程提取尽可能多的信息；（4）近似方法、数值方法及其计算机实现；（5）建立微分方程模型解决实际问题；（6）在应用问题中

7、使用各种数学软件包。还给出几种解二阶及高阶方程方法如降阶法、待定系数、方程组的特征根法、重根情形的处理、指数矩阵的定义、基本解矩阵的计算、向量场的方法等等。文献[3]通过一个具体的例子的求解过程，给出了一类二阶可降阶的常微分方程的两种解法，一种将原方程看成型的微分方程，第二种将原方程看作型的微分方程，并且采用了数学软件Matlab来计算，将微分方程的传统解法与现代数学软件相结合。并且最后得出一个结论，三种方法能够得出在形式上一致的结果。二阶线性常系数微分方程在微分方程理论中占有重要位置，关于它的通解结构,有十分完美的结论

8、.但求解二阶线性变系数微分方程却无一般方法.文献[4]在求二阶线性变系数微分方程当（其中为常数）时的通解的基础上，求解当8（其中为连续可微函数）时的通解解法。得出两个定理：定理一：　设二阶线性变系数齐次微分方程满足条件则其通解的积分公式为定理二：设方程满足条件则其通解的积分公式为在求解二阶常微分方程特别是求二阶实常系