专转本第二章导数与微分(I)

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1、导数的概念导数的运算隐函数及参数方程的函数的求导法则高阶导数微分第二章导数与微分1.变速直线运动的瞬时速度设有一质点作变速直线运动,其运动方程为§1导数的概念一.引例求:质点在时刻的瞬时速度时刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的,分析：可以近似地用平均速度代替瞬时速度于是当时,的极限即为越小,近似的程度越好称为曲线L上点P处的切线2:曲线的切线斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点

2、P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQT设曲线L的方程为y=f(x),越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQT曲线在P处的切线斜率为:当自变量的增量趋于0时的极限.即:函数的增量与自变量增量之比,二.导数的定义1.导数定义:存在,若极限设函数在的某个邻域内有定义,则称函数在处可导,并称此极限值为函数在点处的导数记作:或即同时也称为I

3、内的可导函数.)(.xf的导函数这个函数叫做原来函数导数值)(xdfdy.),(,dxdxxfy或记作¢¢)(,xfIx的一个确定的都对应着对于任一Î三.用导数定义求导数(1)求增量:;根据定义求成的导数,可分为以下三个步骤:(2)算比值:;(3)取极限:.例1求常数函数y=C(C为常数)的导数解(1)求增量:(2)算比值(3)取极限:即例2解例3求函数f(x)=sinx的导数.解即同理可得，余弦函数的导数例4求函数f(x)=㏒ax(a>0,a≠1)的导数.解即四.左导数和右导数定理:左导数：右导

4、数：五.函数的可导性与连续的关系1.若函数y=f(x)在点处可导，则f(x)在点处连续.x0x02.尽管函数y=f(x)在点处连续，但f(x)在点处不一定可导.x0x03.若函数y=f(x)在点处不连续，则f(x)在点处不可导.x0x0解解x=0是分段函数的分段点，讨论其连续性与可导性，均要对其左右两侧情况加以讨论.六.导数的实际意义1.导数的几何意义在点处的导数在几何上表示曲线xyαM在点处的切线的斜率,即如果函数在点处可导,则曲线在点的切线方程为如果为无穷大,切线方程为曲线在点的法线方程为例7

5、.求曲线在点（1,1）处的切线和法线方程.解:因为故所求的切线方程为法线方程为2.导数的物理意义对于不同的物理量有不同的物理意义变速直线运动位移函数s=s(t)的导数就是速度，即