矩阵理论-第四讲最小多项式

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1、矩阵理论-第四讲兰州大学信息科学与工程学院2004年1上节内容回顾化方阵A为Jordan标准形特征向量法初等变换法多项式矩阵（λ矩阵）多项式矩阵的Smith标准型不变因子、初等因子行列式因子法的相似变换矩阵P的求法在A的Jordan矩阵中构造k个以为对角元素的Jordan块k个Jordan块的阶数之和等于2Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根Hamilton-Cayley定理设，，则证明：由于显然运算结果是一个多项式运算结果是一个数运算结果是一个矩阵运算结果是一个零矩阵3H

2、amilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根证明：考察J：4Hamilton-Cayley定理将J写成如下形式：上式中是A的n个根，所以将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，：将代入上式：5Hamilton-Cayley定理6Hamilton-Cayley定理7Hamilton-Cayley定理8Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根证明：仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵：设其中：是的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那么与常数矩阵

3、类似：9Hamilton-Cayley定理设是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么是次数为n的多项式：再考察，其每个元素的次数均不超过n–1:10Hamilton-Cayley定理令:利用矩阵加法的定义将分解11Hamilton-Cayley定理考察等式的右边：考察其左边：比较两边的系数：12Hamilton-Cayley定理以依次右乘这些等式：+=13Hamilton-Cayley定理的应用化简矩阵多项式的计算：当n阶方阵的矩阵多项式中A的最高次幂超过n时，可用多项式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项

4、式表示为与商的积，再加上余式的形式：那么根据Hamilton-Cayley定理这样可简化的计算多项式的带余除法设，为任意多项式，不恒等于0，则必有两个多项式和，使得式中或14Hamilton-Cayley定理的应用举例：给出：求；；；15Hamilton-Cayley定理的应用商：16Hamilton-Cayley定理的应用所以：第2个问题第3个问题：待定系数法17方阵的零化多项式和最小多项式方阵的零化多项式设，是多项式，如果成立，则称为方阵A的零化多项式是A的零化多项式不恒等于零，是A的零化多项式方

5、阵的最小多项式设，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式，记为设，且，成立，且是唯一的证明：采用反证法设是A的任一零化多项式，假设不能整除，则根据多项式的带余除法：18方阵的零化多项式和最小多项式而是A的最小多项式：与假设矛盾再证最小多项式的唯一性假设也是A的最小多项式首先，、均成立其次，与次数相同，否则其中一个不是最小多项式因此，、的商为常数因子又因为与都是首一的，此常数因子必等于1所以19方阵的零化多项式和最小多项式定理矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根；A的最小多项式的

6、根必定是A的特征根证明：根据矩阵多项式的特征值的定理，即设是的特征值，矩阵多项式的特征值为并且，若则A的任一特征值满足是A的次数最低的、首一的零化多项式：即：A的特征根也必定是A的最小多项式的根又：设是的根，即，可得是A的特征根20方阵的零化多项式和最小多项式矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根，由此可得到求最小多项式的一个方法：设的所有不同的特征值为，则其特征多项式可写为：那么A的最小多项式应该具有如下形式：这就是下述定理所描述的内容：定理设，是A的所有互不相同的特征值，则其中是A的Jordan

7、标准形中含的Jordan块的最高阶数21方阵的零化多项式和最小多项式可能相同22方阵的零化多项式和最小多项式定理设，是A的特征矩阵的n–1阶行列式因子，则A的最小多项式为：23方阵的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法1最小多项式只能有以下形式次数从低到高依次验证所以24方阵的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法2(Jordan标准形法)：A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数25方阵的零化多项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法1(第n阶不变因子)26方阵的零化多

8、项式和最小多项式举例：求的最小多项式方法2(Jordan标准形法)：A的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数27多项式矩阵的逆多项式矩阵的逆设，若，使得成立则称是可逆的，或称是单模矩阵多项式矩阵的逆是唯一的设也是的逆，则多项式矩阵可逆的充要条件可逆证明：必要性假设可逆，则，成立28多项式矩阵的逆充分性设，则使得其中，是的伴随多项式矩阵29初等矩阵及多项式矩阵的等价结论：对多项式方阵，满秩未必可逆初等多项式矩阵都是可逆的初等多项式矩阵都是单模的