《集合与实数集》PPT课件

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1、第一章二、实数集及其完备性一、集合及其运算第二节机动目录上页下页返回结束集合与实数集元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合及其运算1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:M为数集表示M中排除0的集;表示M中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征例:整数集合或有理数集p与q互质实数集合x为有理数或无理数机动目录上页下页返回结

2、束是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系定义2.则称A若且则称A与B相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束定义3.给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束或3.集合的运算法则为任意三个集合,则下列法则成立:(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)

3、对偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪BC;机动目录上页下页返回结束1、实数的性质实数的性质:1.实数对加减乘除运算是封闭的;2.实数是有序的;3.实数具有稠密性;4.实数与数轴上的点一一对应.二、实数集及其完备性机动目录上页下页返回结束2、常用的不等式(1)绝对值不等式运算性质绝对值不等式机动目录上页下页返回结束(2)伯努利(Bernoulli)不等式(3)平均值不等式用数学归纳法可证上面两个不等式.机动目录上页下页返回结束无限区间半开区间机动目录上页下页返回结束开区间闭区间3、区间与邻域机动目录上页下页返回结束点的

4、邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.去心邻域左邻域:右邻域:4、确界与确界原理对于有限数集,一定有最大值和最小值.如,但对于无限数集,就未必有最大值和最小值.如,没有最大值和最小值.Maximumminimum机动目录上页下页返回结束定义1:设E为一非空数集,如果存在数M,使得对则称M是E的一个上界下界若数集E既有上界又有下界,则称E为有界数集,否则就称为无界数集.思考:若数集E有上(或下)界,则其上(或下)界是否唯一?2.是否任何一个数集都有上(或下)界?机动目录上页下页返回结束结论:任何一个有限区间都是有界数集,任何一

5、个无限区间都是无界数集.定义2(确界).设E为一非空数集,若数是E的一个上界,且对E的任意一个上界上确界(最小的上界).记作(下)(下)下确界(最大的下界).机动目录上页下页返回结束例设求其上(下)确界.思考:一个有界数集是否一定有上(下)确界?若有,是否唯一?机动目录上页下页返回结束定理1(确界原理)一个非空有上(下)界的数集必存在上(下)确界.由实数理论可证.定理2(1)设E是有上界的非空数集,则(2)设E是有下界的非空数集,则利用反证法.实数的完备性或连续性机动目录上页下页返回结束定理3若数集E包含了它的一个上界则例设求其上(下

6、)确界.机动目录上页下页返回结束1、集合集合概念集合的运算2、实数的性质4、确界与确界原理3、区间与邻域机动目录上页下页返回结束内容小结作业P85，6