条件概率与事件的独立性

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1、第一章随机事件及其概率第4节条件概率在实际问题中，经常考虑在某个外加的条件下随机事件发生的概率，称之为条件概率。2021/7/181皖西学院经济与管理学院例１：一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率。(1)事件A＝“至少有一个女孩”发生的概率。(2)在事件B＝“至少有一个男孩”发生的条件下，事件A发生的概率。2021/7/182皖西学院经济与管理学院一、条件概率的概念含义：在事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率，对于古典概型，如图所示，有称为在事件B发生条件下事件A的条件概率，2021/7/183皖西学院经济与管理学院即把B作为新的样本空间.缩减

2、样本空间法条件概率的定义：对于古典概型，条件概率可以如下计算：2021/7/184皖西学院经济与管理学院例2设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率；（3）求两次均取到红球的概率。设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球思考：任一次取到红球的概率都相同吗？2021/7/185皖西学院经济与管理学院二、概率乘法公式注：（1）由条件概率定义直接可推出，（2）由（1）可推出。2021/7/186皖西学院经济与管理学院例3一批零件共有100

3、个，其中10个不合格品，从中一个一个取出（不放回），求第三次才取到不合格品的概率。解：记Ai表示“第i次取出的为不合格品”，则所求概率为2021/7/187皖西学院经济与管理学院例4（摸奖券问题）设有n张奖券，只有1张有奖，每个人只摸一张，求每个人中奖的概率。2021/7/188皖西学院经济与管理学院例510个考签中有4个难签，3个考生参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。2021/7/189皖西学院经济与管理学院三全概率公式例1设有两个口袋，甲袋装有2个白球

4、、3个红球；乙袋装有4个白球、2个红球。现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。分析：对于较复杂事件概率的计算，首先要选择适当的符号把已知、所求事件表示出来；再根据概率法则、性质进行计算。解：设A——从甲袋取出白球；B——从乙袋取出白球；所求问题是什么？2021/7/1810皖西学院经济与管理学院P(B)的取值显然与P(A)有关系，且P(A)=2/5.另外，在A发生与否的条件下，B发生的条件概率可求。利用乘法公式可以计算：即有例1设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有4个白球、2个红球。现从甲袋任取一球放入乙

5、袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。2021/7/1811皖西学院经济与管理学院全概率公式设A1，A2，…，An为样本空间的一个分割（或称划分、完备事件组），则对任一事件B，有：注：①全概率公式解决的问题是，由B的条件概率求B的概率（部分→整体）。②常用形式③条件可减弱为2021/7/1812皖西学院经济与管理学院例212各乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。2021/7/1813皖西学院经济与管理学院例3某工厂两个车间生产相同型号的的产品，生产的产品混合放在一个仓库里。第一车间产品的

6、次品率为0.15；第二车间产品的次品率为0.12；且两个车间产品的数量比是2：3。现从仓库里任取出一件产品，求它是次品的概率。解：记Ａ——取出的一件是次品；2021/7/1814皖西学院经济与管理学院引例：假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%,35%,20%。次品率依次是0.04,0.02,0.05。现从待出厂的产品中检查出一个次品，判断它是甲车间生产的概率。所求问题是？四贝叶斯公式（逆概率公式）2021/7/1815皖西学院经济与管理学院贝叶斯公式（逆概率公式）2021/7/1816皖西学院经济与管理学院例1〔孩子与狼的

7、寓言〕通过计算说明为什么村民后来不再相信他呢？2021/7/1817皖西学院经济与管理学院补充说明这里，称为先验概率，即原来村民对他的印象。称为后验概率，即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象。若小孩再次撒谎，则以替换作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到在实际生活中，人们总是根据已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。2021/7/1818皖西学院经济与管理学院例2某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普检查，医学研究表明，化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99％呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果99.

8、9％呈阴性（无病）。现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多大？解：设B为“被检查者患有肝癌”，A为“检查结果呈阳