条件概率及事件的独立性

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1、第一章第三节条件概率及事件的相互独立性一、条件概率和乘法公式二、全概率公式和Bayes公式三、事件的相互独立性§1.3.1条件概率和乘法公式在实际问题中，除了要知道事件A发生的概率P(A)外，有时还要考虑“在事件B发生的条件下，事件A发生的概率”，这个概率记作P(A

2、B)。件B已经发生”，由于增加了条件“事所以一般说来，P(A

3、B)和P(A)不同。称P(A

4、B)为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回。（2）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（3）求第二次取到红球的概率；（4）求两

5、次均取到红球的概率；解、设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球（1）求第一次取到红球的概率;例1.3.1设是的两个随机事件，且则称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。定义1.3.1性质例2一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010B--从盒中随机取到一只新球.解：设A--从盒中随机取到一只红球.2、乘法公式设则就称为事件的概率乘法公式。以上公式还可推广到三个事件的情形：一般地，有下列公式：例3盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放

6、回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则其中故例4盒中有n个球，其中n－1个白球，1个黑球，n个依次从袋中各取1球，每人取后不放回，求第i人取到黑球的概率。=0.9795≈0.8286定义事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间Ω的一个划分，若满足：A1A2……………AnB二、全概率公式和贝叶斯公式定理1设是Ω的一个划分，且则对任何事件BΩ，有全概率公式贝叶斯公式例6市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、

7、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。解：设买到一件次品；分别表示买到甲、乙、丙三厂的产品。例71个红球，有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；解：A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；已知:由Bayes公式:例8商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果

8、都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.分别表示事件每箱含0，1，2只次品§1.3.3事件的相互独立性对于随机试验的两个随机事件A和B，一般有这表明事件B的发生与否对事件A的发生是有影响的。当P(A

9、B)=P(A)时，这种影响就不存在。此时，称事件A与事件B是独立的。由条件概率公式或当P(B)>0时当P(A)>0时可知：定义1.3.3结论：以下四个命题等价：(1)事件相互独立(2)事件相互独立(3)事件相互独立(4)事件相互独立§1.3.3事件的相互独立性若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称

10、A与B相互独立。定理1.3.2若P(A)>0(或P(B)>0)，则A与B相互独立的充分必要条件是(或)例9某车间中，一位工人操作甲、乙两台没有联系的自动车床，由积累的数据知，这两台车床在某段时间内停车的概率分别为0.15和0.20，求这段时间内至少有一台不停车的概率。(0.97)例10设0

11、B是否独立?B={抽出一张黑桃},解:是相互独立的.加上大小王如何？2、多个事件的独立定义2、若三个事件满足：则称事件两两相互独立。若在此基础上还满足：则称事件相互独立。一般地，设是n个事件，如果对任意任意的具有等式则称n个事件相互独立。思考：1、设事件相互独立，则与独立吗？至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？2、一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次答:0.518,0.4963、事件独立性的应用1)、加法公式的简化若事件相互独立,则2)、在可靠性理论上的应用例11．如图，1、2、3、4、5表示继电器假设每个触点闭合