近世代数主要知识点

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1、近世代数基础补考复习练习王尚文近世代数基础基本概念群论环和域第一章基本概念集合映射代数运算结合律交换律分配律一一映射同态同构、自同构等价关系与集合分类第二章群论群的定义单位元、逆元、消去律有限群的另一定义群的同态变换群置换群循环群子群子群的陪集不变子群、商群同态与不变子群第三章环和域加群、环的定义交换律、单位元、零因子、整环除环、域无零因子环的特征子环、环的同态多项式环理想剩余类环、同态与理想最大理想集合的定义若干个固定事物的全体叫做一个集合简称集元组成一个集合的事物叫做这个集合的元素有时简称元一个没有元素的集合叫做空集合

2、集合的积令A1A2·········，An是n个集合，有一切从A1A2·········，An里顺序取出的元素组（a1，a2，a3············，an）（ai∈Ai）所做成的集合叫做集合的积子集若集合b的每一个元素都属于集合a，我们说，b是a的子集交集集合a和集合b的所有共同元所组成的集合就叫做a和b的交集并集由至少属于集合a和b之一的一切元素组成的集合就叫做a和b的并集映射映射的定义假如通过一个法则Ф，对于任何一个A1×A2×······×An的元都能得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合A1×A2×··

3、····×An到集合D的一个映射像逆象，映射的相同效果相同就行代数运算定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算代数运算是一种特殊的映射描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来表示二元运算假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的二元运算分配律第一分配律b⊙（a+b）=（b⊙a)+(b⊙a）第二分配律（a1+a2）b=（a1⊙b）+（a2⊙b）同态同态映射一个A到Ǎ的映射l，叫做一个代数运算∮和∮‘来说，A到Ǎ的同态映射，假如，在∮之下不管a和b是A的哪两个元，只要a→a´，b→b`就有a∮

4、b→a´∮‘b`假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射同构映射一一映射的同态映射就是一个同构映射自同构等价关系与等价类集合的等价关系假如～满足以下规律Ⅰ反射律；a～a，不管a是A的哪个元。Ⅱ，对称律:a～b＝>b～aⅢ，推移律：a～b，b～c=>a～c同余关系群的定义群的第一定义一个不空集合G对于乘法的代数运算来说做成一个群，假如ⅰG对于这个乘法来说是闭的ⅱ结合律成立：a（bc）=（ab）c对于G的任意的三个元a，b，c都对；ⅲ对于G的任意两个元a，b来说，方程ax=b和ya=b都在G里有解群的

5、第二定义ⅰG对乘法是闭的ⅱ结合律成立：a（bc）=(ab)c对于G里的任意元都对ⅲG里至少存在一个左单位元e，能让ea=a对G中的任意a都成立ⅳ对于G的每个元a，在G里至少存在一个左逆元a‘能让a’a=e单位元、逆元、消去律单位元一个群的唯一的能使ea=ae=a的元e叫做群的单位元逆元一个群的每一个元a来说，在群里存在一个而且只存在一个元a‘，能使a’a=aa’=e消去律若ax=ax’，那么x=x’若ya=y’a，那么y=y’群的同态定理假定G与G’对于它们的乘法来说同态，那么G’也是一个群注意假如G’和G同态，那么不一定

6、是群定理2假定G和G’是两个群。在G到G’的一个同态映射下，G的单位元e的象是G’的单位元，G的元a的逆元a’的象是a的象的逆元在一个同构映射下，两个单位元互相对应，相互对应的元的逆元相互对应。变换群定理1假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒等变换ε，若是对乘法（ζ：a→aζ，λ：a→a٨那么a→（aד)٨）来说做成一个群，那么G只包含A的一一变换。变换群一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个群叫做A的一个变换群定理2一个集合的所有一一变换做成一个变换群定理3任何一个群都同一个变换群同构证明，

7、假定G是一个群，G的元是a，b，c·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：g→gx=g٨x是集合的一个变换。因为给了G的任意元g，我们能够得到一个唯一的G的元g٨x。这样由G的每个元x，可以得到G的一个变换גx。我们把所有这样的来的G的变换放在一起，做成一个集合G’={a’，b‘，c’·······}那么x→x’是G到G’的满射，但消去律x≠y=>gx≠gy告诉我们若x≠y，那么x’≠y’，所以x→x’是一一映射。在进一步看，是同构映射所以任何群和一个变换群同构置换群一个有限集合的一一变换叫做置换一个有限集合

8、的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。定义一个包含n个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群sn定理1n次对称群sn的阶是n！定义sn的一个把ai1变到ai2·····························而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个k-循环置换定理2每一个n个元的置换ד都