无穷远点处与Schrodinger算子相关的极细集

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1、乔蕾等：无穷远点处与Schr6dinger算子相关的极细集f1)≠一∞是区域J[)中的上半连续函数．(2)∈[一∞，∞)．(3)对于任意的点P∈D，有u(p)≤厂／(Q)竺—da(Q)，I，OB(P,r、o~'tQ其中0

2、调和函数．分别记n中的单位球和上半单位球为S一和S．为了方便起见，(1，O)∈S被记为O．{e；(1，O)∈Qcs一)被记为Q．如果三c+且QcS”_。，则{(r，O)∈”；∈量，(1，O)∈Q)被简记为兰×Q．锥(Q)=+×Q，其中cSn_。．截断锥(Q；I)=I×，其中Ic．我们称集合HC(Q)有一个覆盖{，)，即指存在一列球{)，其球心在(Q)内，使得HcUl，其中是马的半径，是Bj的球心到原点的距离．本文，令D=(Q)，将G冬()(P，Q)简记为G(Q)．若无特殊的说明，文中出现的e是指充分小的正数，c

3、出现在不同的地方代表不同的常数且它与问题中的变量无关．设QcS一有光滑的边界．考虑Dirichlet问题(参见文献f2，第41页1)(A+)=0，在Q内，=0，在aQ上，其中A是Laplace算子A的球面部分△=+器十．记上述边界值问题最小的特征值为，与其相对应正规化后正的特征函数为(e)且．厂n(e)ds1=1．为方便起见，我们假定如果n≥3，则QcSn一是C2,e一区域(0<<1)，它能被有穷个互不相交的闭超曲面所覆盖(关于C2,一区域的定义，读者可参看文献f3，第88—89页1)．对于任意的(1，0)∈Q

4、，有(见文献[4，第7_8页】)5-1r(e)≤5(P)≤cr(e)，(1．1)其中P=(r．e)∈(Q)且5(P)=dist(ocn(n))．若a∈，则常微分方程(见文献[5]))一卅(r)))-010W(r)＼0，当r-÷+。。．若a∈，lim。。r2盘(r)：l。∈[0，。。)且r-1Ira(r)一i∈L(1，。。)，则将满足上述条件的位势a的全体组成

5、的集合记为。．若a∈。，则次(超)函数连续(见文献[8】)．若无特殊说明，本文此后一直假定。∈．令：—2-—n：：i：—~／互(n-2)2．-1-4(kTA)，则方程(1．2)有下列渐近行为(见文献[3])，c一r≤()≤cr“，C-1r≤(7’)≤Cr“，当r_÷∞．(1．3)中国科学：数学第44卷第12期设是定义在(Q)中的正测度，则锥中的Green．Sch位势可以定义为G(P)=／G(PQ)d(Q)≠+o。，C()其中P∈cn(u)．定义”中的正测度m()为dm(州Q)：{【0)))∈(1)．，Q∈”一(

6、Q；(1，+。。))．注1由文献[9，引理5]，知m()<∞．对于任意的P=(，O)∈一{0)，极大值函数M(P；A，)定义为(见文献[10，11])M(P；入，)：sup，其中≥0且A是定义在n上的正测度．记集合{P=(r，0)∈一{O)；M(P；A，)r卢>E)为E(E；A，)．由文献【12，第44页】，知锥中Martin边界是集合a()u{oo}，它中的每个点都是极小的Martin边界点．对于任意的P∈cn(n)和Q∈ocn(a)U{∞)，定义Martin核为(P，Q)．若参照点P选择恰当，则对于任意的P

7、=(r，O)∈(Q)，有(。。)=(r)(e)和(0)=c(r)(e)．(1．4)在文献『13]中，Long等人首次引入了锥中(关于Sch。算子的)细集、极集和极细集的概念．设Q∈(【2)，Hc，存在点Q的细邻域E，使得En(日＼{Q))=0，则称集合日是(Q)中点Q处的细集．否则，称日不是点Q处的细集．设H(cn)，若存在一个定义在开集F中的超函数，使得Hc{P∈F；(P)=∞)，则称集合日是中的极集．设fl’。1是(·，Q)关于集合H(C(Q))的正则约化函数．若存在点P∈(Q)，使得f．．。1(P)≠MS

8、(P,Q)，则称集合H(Ccn(a))是在点Q∈a(Q)m{。。)处的极细集．若H是锥中的有界子集．则(在锥中有界且矗f最大的广义调和弱函数为零．设．．，o。)，。。)Is=fP∈Cn(Q)；集合日不是点P处的细集)，由文献[12，第46页]知，对于任意的P∈(Q)，存在一个唯一的定义在锥中的正测度备且其集中于集合上，使得‰(．，。。)(P)=G备(P)．(1．5)对于任意的P∈(Q)