复变函数与场论第1讲

《复变函数与场论第1讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、电子工程学院复数的应用:电磁学流体力学热学弹性理论复数研究的发展:1545年，意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算。1572年，意大利数学家邦别RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。此后，德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法国数学家棣莫佛（Abraba

2、mdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。复数研究的发展:大约在1777年，欧拉第一次用i来表示-1的平方根，1832年，德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种

3、几何解释。复数研究的发展:欧拉高斯主要内容:F复数和复变函数F解析函数F复变函数的积分F级数F留数F共形映射F场论教材参考教材第一讲复数域复数的几何表示复数的乘幂与方根复数域:每个复数具有z=x+iy的形式，其中x、y∈R，i是虚数单位(-1的平方根)。x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：x=Rez,y=Imz如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz≠0，那么称z为一个虚数；如果Imz≠0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。复数相等：z=z⇔x=x,y=y121212复数的四则运算:(a+ib)±(a+ib)

4、=(a±a)+i(b±b)11221212(a+ib)(a+ib)=(aa−bb)+i(ab+ab)112212121221(a+ib)aa+bbab−ab)11=1212+i21122222(a+ib)a+ba+b222222V复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。V加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律和分配律均成立。共轭复数:z=x−iy,z=x+iy互为共轭复数容易z=z,22zz=x+y验证z+z=2x=2Rez,z−z=2iy=2iIm

5、zz+z=z+zzz=zz12121212⎛z⎞z⎜1⎟1=⎜⎟⎝z2⎠z2例1：设z1、z2是两个复数，证明：z+z=z+z,zz=zz12121212z=z11证明：设z=x+iy,z=x+iy111222则，z+z=(x+iy)+(x+iy)121122=(x+x)+i(y+y)1212=(x+x)−i(y+y)1212=x−iy+x−iy=z+z112212例1：则，zz=(x+iy)(x+iy)121122=(xx−yy)+i(xy+yx)12121212=(xx−yy)−i(xy+yx)12121212=(

6、x−iy)(x−iy)=zz112212z=x+iy=x−iy=z111111例2设z1、是两个复数，求证：z2222

7、z+z

8、=

9、z

10、+

11、z

12、+2Re(zz),1212122证明：

13、z+z

14、=（z+z）(z+z)121212=（z+z）(z+z）1212=zz+zz+zz+zz1122121222=

15、z

16、+

17、z

18、+zz+zz12121222=

19、z

20、+

21、z

22、+2Re(zz)1212例3设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2为两个任意复数,证明zzz+z=2Re(zz).121212[证]zzz+=+zxi()y()x

23、i−+−y()xiy()xi+y121211221122=++−()xxyyixy()xy12122112+++−()xxyyixy()xy12121221=+=2(xxyy)2Re(zz).121212或zzz+=+=zzzzz2Re(zz).1212121212复平面:一对有序实平面上一点P数（x，y）复数z=x+iy¾复数域C也可以理解成平面RxR，我们称C为复平面（z-平面，w-平面等）。¾横轴称为实轴；纵轴称为虚轴。V复数可以等同于平面中的向量。V向量的长度称为复数的模，定义为：22r=

24、z

25、=x+yzV非零

26、实轴之间的夹角称为(x,y)复数的辐角，记为：ryθ=Argzyθtg(Argz)=xoxθ1是其中的一个Argz=θ+2kπk=0,±1,±2,……1x=rcosθy=rsinθV辐角主值argz满足-π