《线性方程的解发》PPT课件

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1、第2章一元线性方程的解发§1二分法§2迭代法§3切线法(牛顿法)§4弦截法§5加速迭代法§1二分法我们已经熟悉求解一元一次方程、一元二次方程以及某些特殊类型的高次代数方程或非线性方程的方法。这些方法都是代数解法,求出的根是方程的准确根。但是在许多实际问题中遇到的方程,例如代数方程x3-x-1=0或超越方程等等,看上去形式简单,但却不易求其准确根。为此,只能求方程达到一定精度的近似根。方程的形式很多,我们主要讨论一元非线性方程,也即f(x)=0(2―1)方程(2―1)可以有实根,也可以有复根或者重根等。本章主要讨论它的实根的数

2、值计算问题。方程根的数值计算大致可分三个步骤进行:(1)判定根的存在性。(2)确定根的分布范围,即将每一个根用区间隔离开来。(3)根的精确化,即根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化,直至满足预先要求的精度为止。设f(x)为定义在某区间上的连续函数,方程(2―1)存在实根。虽然方程(2―1)的根的分布范围一般比较复杂,但我们不难将函数f(x)的定义域分成若干个只含一个实根的区间。例如考虑方程x2-2x-1=0由图2.1所示,该方程的一个负实根在-1和0之间,另一个正实根在2和3之间。图2.1这样,我们总可以假设方程(2―1

3、)(a,b)内有且仅有一个单实根x*。由连续函数的介值定理知f(a)·f(b)＜0若数值b-a较小,那么我们可在(a,b)上任取一点x0作为方程的初始近似根。例如,方程f(x)=x3-x-1=0由于f(1)＜0,f(1.5)＞0,又f(x)在区间(1,1.5)上单调连续,故可知在(1,1.5)内有且仅有一个实根。于是可取某个端点或区间内某一个点的值作为根的初始近似值。设函数f(x)在区间［a,b］上单调连续,且f(a)·f(b)＜0则方程(2―1)在区间(a,b)内有且仅有一个实根x。下面在有根区间(a,b)内介绍二分法的基本思

4、想。取x0=(a+b)/2.计算f(a)与f(x0),若f(a)·f(x0)＜0则根x∈(a,x0),令a1=a,b1=x0否则x∈(x0,b),令a1=x0,b1=b图2.2如此逐次往复下去,便得到一系列有根区间(a,b),(a1,b1),(a2,b2),…,(ak,bk),…其中这里a0=a,b0=b显然有(2―2)当k→∞时,区间(ak,bk)最终必收敛于一点,该点就是所求方程(2―1)的根x。我们把每次二分后的有根区间(ak,bk)的中点作为所求根x的近似值,这样获得一个近似根的序列x0,x1,x2,…,xk,…该序列必

5、以根x为极限,即(2―3)故对于预先给定的精度ε,若有则结果xk就是方程(2―1)满足预给精度ε的近似根,也即由式(2―2)和(2―3)还可得到误差估计式为(2―4)对于确定的精度ε,从式(2―4)易求得需要二等分的次数k。二分法具有简单和易操作的优点。其计算步骤如下,框图如图2.3所示。1.计算步骤①输入有根区间的端点a,b及预先给定的精度ε;②(a+b)/2x;③若f(a)f(x)＜0,则x=b,转向④;否则x=a,转向④。④若b-a＜ε,则输出方程满足精度的根x,结束;否则转向②。2.计算框图(见下页）例1求方

6、程f(x)=x3-x-1=0在区间(1,1.5)内的根。要求用四位小数计算,精确到x-2。解这里a=1,b=1.5取区间(1,1.5)的中点图2.3由于f(1)＜0,f(1.25)＜0,则令a1=1.25,b1=1.5得到新的有根区间(1.25,1.5)表2―1取x6=1.3242，误差限

7、x6-x*

8、<0.5/(2^7)<0.005,故x6即为所求近似根，实际上根x*=1.324717…二分法优点：计算简单，收敛性有保证；缺点：收敛不够快，特别是精度要求高时，工作量大，而且不能够求复根及双重根。§2迭代法迭代法的基本思想是

9、:首先将方程(2―1)改写成某种等价形式,由等价形式构造相应的迭代公式,然后选取方程的某个初始近似根x0,代入迭代公式反复校正根的近似值,直到满足精度要求为止。迭代法是一种数值计算中重要的逐次逼近方法。例如,求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的一个根(用六位有效数字计算)。首先将原方程改写成等价形式用初始近似根x0=1.5代入式(2―5)的右端可得x1与x0相差较大,如果改用x1作为近似根代入式(2―5)的右端得表2―2对于一般形式的方程(2―1),首先我们设法将其化为下列等价形式x=g(x)(2―7)然后按(2―7)构造

10、迭代公式(2―8)从给定的初始近似根x0出发,按迭代公式(2―8)可以得到一个数列x0,x1,x2,…,xk,…若这个数列｛xk｝有极限,则迭代公式(2―8)是收敛的。此时数列的极限就是原方程(2―1)的根。虽然迭代法的基本思想很简单,但效果并不