《泰勒公式修改》PPT课件

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1、第三节—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式第三章一、问题的提出三、几个初等函数的麦克劳林公式四、泰勒公式的应用二、Pn和Rn的确定一、问题的提出特点:以直代曲x的一次多项式不足:1、精确度不高；2、误差不能估计.问题:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交多项式逼近1.求n次近似多项式要求:故令则2.余项估计令(称为余项),则有泰勒(Taylor)中值定理阶的导数,时,有其中则当称为按的幂展开的n阶泰勒公式皮亚诺型余项两种余项形式

2、：拉格朗日型余项因此，泰勒中值定理是拉格郎日中值定理的推广.其中泰勒公式变成较简单的形式，即所谓的麦克劳林公式：或三、几个初等函数的麦克劳林公式其中其中类似可得其中其中其中类似可得已知常用函数的含皮亚诺型余项的麦克劳林公式四、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦

3、克劳林公式为由于欲使解2.利用泰勒公式求极限3.利用泰勒公式证明不等式例3.证明证:内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)

4、《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.sinx的Tailoy多项式对sinx的近似情况：n=1时：sinx的Tailoy多项式对sinx的近似情况：n=3时：sinx的Tailoy多项式对sinx的近似情况：n=5时：sinx的Tailoy多项式对sinx的近似情况：n=11时：