1.巧用勾股定理解决折叠与展开问题

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1、巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1　利用勾股定理解决平面图形的折叠问题1．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．2．长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，求AB的长．3．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．4．有一长方形纸片ABCD，按如图方式折叠，使点B

2、与点D重合，折痕为EF.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)若AD＝3，AB＝9，求BE的长．5．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm.(1)如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD＝________cm；(2)如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M，N分别在AC，BC上，则AM2，BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．类型2　利用勾股定理解决立体图形的展开问题6．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是(

3、　　)A．6cmB．12cmC．13cmD．16cm7．如图，在一个长为2m，宽为1m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是____________m(精确到0.01m)．8．如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？9．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯外离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上

4、沿4cm的点A处．(1)求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离；(2)若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4cm的点C处，其余条件不变，请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离．参考答案1．∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3.由图形折叠的性质，知C′F＝CF＝BC－BF＝9－BF.在Rt△C′BF中，BF2＋BC′2＝C′F2，∴BF2＋9＝(9－BF)2.解得BF＝4.2．∵四边形ABCD是长方形，AD＝8，∴BC＝8.∵△AEF是由△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形．∴CE＝BC－BE＝8－3＝5.在Rt△CEF中，CF＝＝

5、＝4.设AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(x＋4)2＝x2＋82.解得x＝6.∴AB＝6.3．依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，在Rt△ABE中，AE＝OA＝5，AB＝4.∴BE＝3，从而CE＝2.∴E点坐标为(2，4)．在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.又∵DE＝OD，∴(4－OD)2＋22＝OD2.解得OD＝.∴D点坐标为(0，)．4．(1)证明：由折叠的性质，得∠DEF＝∠BEF.∵AB∥DC，∴∠BEF＝∠DFE.∴∠DEF＝∠DFE.∴DE＝DF，即△DEF是等腰三角形．(2)由折叠的性质，得ED＝EB.设BE＝x，

6、则DE＝x，AE＝AB－x＝9－x.在Rt△ADE中，AD＝3，AD2＋AE2＝DE2.∴32＋(9－x)2＝x2.解得x＝5.∴BE＝5.5．AM2＋BN2＝MN2.证明：过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP，∴∠A＝∠PBH，∠PBN＋∠C＝180°，即∠PBN＝90°.∵H是AB的中点，∴AH＝BH.在△AMH和△BPH中，∴△AMH≌△BPH(ASA)．∴AM＝BP，MH＝PH.又∵NH⊥MP，∴MN＝NP.又∵在Rt△BNP中，BP2＋BN2＝NP2.∴AM2＋BN2＝MN2.6．C　7.2.608．(1)∵长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为

7、1cm，∴A2C2＝＝(cm)．∴A1C2＝＝(cm)．(2)如图1所示，A2C1＝＝5(cm)．如图2所示，A2C1＝＝(cm)．如图3所示，A2C1＝＝2(cm)．∵5＜2＜，∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5cm.9．(1)如图，由题意可，得CD＝9cm，AD＝12－4－4＝4(cm)，∴AC＝＝(cm)．答：蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离为cm.(2)如图，将杯子侧面展开，作A关于EQ的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，则A′D＝×18＝9(cm)，CQ＝12－4＝8(cm)，CD＝4＋8＝12(cm)．在Rt△