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1、40数学通讯2007年第24期定比分点公式的向量形式及应用马洪炎吴文尧(宁波市北仑中学,浙江315800)众所周知,向量法是解决平面几何问题与EG的交点,求比值EH∶HG.的重要方法,而定比分点公式是解析几何中分析要求比值EH∶HG的大小,只应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分须得到向量EH与向量EG之间的线性关系,点公式的向量形式及其在解决平面几何问题由平面向量基本定理可知,可选择一组合适中的应用,供大家参考.的基底使向量EH、向量EG都可用这组基底1定理及其推论的线性组合表示,一旦表示成功,则结论也唾定理(定比分点公式的向量形式)设点手可得了.P分P1P2的比为λ(即P
2、1P=λPP2,λ≠-1),Q为平面上的任意一点,则1λQP=QP1+QP2.1+λ1+λ证明∵P1P=λPP2,图1例1图∴QP-QP1=λ(QP2-QP),解设CB=a,CA=b,连结CG,EF,由即(1+λ)QP=QP1+λQP2,于BE=2EC,由推论1可知:1λ即QP=1+λQP1+1+λQP2.21GE=GC+GB33推论1设点P为■OAB的边AB上21的点,且AP=m,PB=n,则=GC+(CB-CG)33nmOP=OA+OB.1m+nm+n=CB-CG3推论2设点P为■OAB的边AB的111=CB-(CB+CA)中点,则OP=(OA+OB).32211=-a-
3、b,推论3■OAB中,点P在直线AB上62的充要条件是:存在实数t,使OP=tOA+(111即EG=a+b;-t)OB成立.62推论4(定比分点公式)在直角坐标平∵D,H,F三点共线,面中,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),且∴EH=tED+(1-t)EF点P分P1P2的比为λ(其中λ≠-1),则x==tED+(1-t)(CF-CE)x1+λx2y1+λy2=ta+(1-t)(1b-1a)1+λ,y=1+λ.3232t-11-t2应用举例=a+b.322.1证明比例线段关系∵EG与EH是共线向量,例1如图1,在■ABC中,D,E是BC11-t12t-13
4、边的三等分点,D在B和E之间,F是AC∴·-·=0,即t=,62235的中点,G是AB的中点,设H是线段DF2007年第24期数学通讯412112的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩故EH=(a+b)=EG,5625短了解题的长度.∴EH∶HG=2∶3.2.2证明三角形的面积关系评注①由于本题的相关点均“生长”在例3如图3所示,已知■ABC的面积■ABC的三边上,所以选择以向量CB=a,为14cm2,D,E分别是边AB,BC上的点,且CA=b作为基底比较合理.AD∶DB=BE∶EC=2∶1,求■PAC的②在向量运算过程中,通过合理的运用面积.上述定理的推论,可简化运算过程,
5、甚至可直分析由于已知■ABC的面积,因此要奔结论.计算■PAC的面积,只须求这两个三角形的例2(第23届IMO试题)已知AC,面积比,注意到■ABC与■PAC是同底三CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点角形,设直线BP与AC交于点Q,则只须求M,N分别内分AC,CE,使得AM∶AC=出点P分BQ的比,若选择以向量BA=a,CN∶CE=r,如果B,M,N三点共线,求rBC=c为基底,再把向量BQ,BP用基底表示的值.之,则就大功告成了.分析①要求出r的值,只须得到关于r的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“B,M,N三点共线”翻译成关于r的一个方程.
6、②由于B,M,N三点所在直线过顶点B,因此选择向量BA、BC作为基底比较合理,图3例3图再把向量BM,BN用基底表示之,则不难得解连结BP并延长交AC于Q,设BA到关于r的方程.=a,BC=c.∵C,P,D三点共线,∴BP=tBD+(1-t)BC,11又∵BD=BA=a,33t∴BP=a+(1-t)c.3∵A,P,E三点共线,∴BP=λBA+(1图2例2图2(1-λ)-λ)BE,即BP=λa+c.解∵AM∶AC=CN∶CE=r,3∴AM∶MC=CN∶NE=r∶(1-r).t由平面向量基本定理可知=λ且1-t由推论1可知3BM=rBC+(1-r)BA,2(1-λ)114=,解得
7、λ=,∴BP=a+c.BN=rBE+(1-r)BC.3777∵ABCDEF是正六边形,设BQ=μBP=μa+4μc,因为A,Q,C77∴BE=2(BA+BC),μ4μ7∴BN=2r(BA+BC)+(1-r)BC三点共线,所以+=1,即μ=,775=(1+r)BC+2rBA.52∵B,M,N共线,∴r·2r-(1-r)(1+∴BP=BQ,PQ=BQ,77322r)=0,解得r=.S■PAC=S■BAC=4cm.37评注由于本题的“情景”与推论1的使评注在用向量方法解决平面几何问题用条件非常吻合,因此上述解
