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时间:2018-12-21
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1、实用标准文案定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学(321307)吴汝龙定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设,,若,则。特别地,当时,即P为线段的中点,则有。用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值:例1:已知A(),B()及直线:,直线AB与相交于P点,求P点分的比。解:设,则由,得,又∵P点在直线上,∴,∴。例2:如图所示,在中,D为边BC上的点,且,E为AD上的一点,且,延长BE交AC于F,求F分有向线段所成的比。解:∵,∴,又,∴,而,∴,∵B、E、F共线,∴设,而∴精彩文档实用标准文案∴,解得。二、求直线上点
2、的坐标例3:已知点,,点C为直线AB上一点,且,求C点的坐标。分析:先求出C点分的的值,再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。解:∵,∴,利用定比分点的坐标公式有。∴C点的坐标为。例4:已知,,且,,求点C,D的坐标。分析:由题设,运用定比分点的向量公式,可以求得点C,D的坐标。解:设,,∵,∴,∴根据定比分点的向量公式有,∴同理由得,∴根据定比分点的向量公式有,∴精彩文档实用标准文案∴点C的坐标为,D点的坐标为。三、证明三点共线例5:已知点,,,求证:A、B、C三点共线。证明:设在上,分的比为,则∴,解得∴与重合,由题设知C在AB上,∴A、B、C三点共线。四、求字
3、母系数范围例6:已知点,,一次函数的图象与线段AB有公共点,求实数的取值范围。解:设为一次函数图象与线段AB的交点,把P看作的定比分点,其定比为,则有,由定比分点公式有,而P点在函数图象上,∴,解得,∴,即或,而当P点与B重合时,也适合。∴或。例7:若直线与连接,两点的线段有公共点,求实数的取值范围。精彩文档实用标准文案解:当直线过P点时,,直线过Q点时,,当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时,设这个交点分的比为,由定比分点公式有,∴M点的坐标为,又∵直线过点M,∴,∴,又∵点M在线段PQ上知,∴,解得或,∴或。五、解决平面几何问题:例8:如图所示,在平行四边形ABC
4、D中,P点在线段AB上,且,Q在线段AD上,且,BQ与CP相交于R,求的值。分析:取两基底,由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来,再求解。解:设,,,∴,由题意有,,则,,,又B、R、Q三点共线,∴存在实数使,∴,精彩文档实用标准文案∴,且。∴,即。例9:设直角三角形AOB斜边的三等分点为D、E。求证。分析:以O为原点,为轴正向建立直角坐标系,设,,用,表示相关线段的长度,从而证明命题。证明:以直角顶点O为原点,直角边OA、OB所在直线为轴,轴建立直角坐标系,如图设点,点,则D分的比为,∴由定比分点的向量公式得∴点D坐标为同理点E坐标为,由两点间距离公式,得,
5、,,∴,而,∴。例10:如图,已知,求证:的三条中线AD、BE、CF相交于一点G,且。分析:几何问题应用向量来解决,关键是将有关线段设为向量,可以在平面内任取一点O为向量的始点,将、、精彩文档实用标准文案设出。证明:如图,在平面内任取一点O,设,,,又设为AD上一点,且,则∵D为BC中点,∴,∴,同样,若设,,则可证得,∴∴、、三点重合。设交点为G,则有。精彩文档
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