微分几何模拟卷

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1、微分几何模拟卷A一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）1、等距变换一定是保角变换()2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.()3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线.4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的()5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量().二、填空题（每小题3分，共15分）1.半径为的圆的曲率为_________.2.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,3.坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________.4.在脐点处曲面的第一,第二类基本量满足______________

2、______,5.使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向.三、计算题（第1小题各18分，，第2、3、4小题各10分，共48分）1、已知空间正则参数曲线(1)求基本向量.(2)求的曲率和挠率.2、求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.3、设一个曲面的第一基本形式为求它上面两条曲线的交角.4.确定螺旋面上的曲率线。五、证明题((每小题各9分，共27分)1.证明挠曲线(的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这曲线是直线或平面曲线.3、设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对

3、应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。微分几何模拟卷B一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）1、保角变换一定是等距变换(　　　)2、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.(　　　)3、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量(　　　)4、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.(　　　)5、测地曲率是内蕴量(　　　)二、填空题（每空3分共30分）1、已知，，则①，②，③，④2、已知曲面，，，则它的第一基本形式为⑤，第二基本形式为⑥，高斯曲率⑦，平均曲率⑧，点处沿方向的法曲率⑨，点处的两个主曲率分别为⑩.

4、三、计算题（每小题12分共36分）1、求曲面的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率.53、求曲线的曲率和挠率：四、证明题（每小题12分，共24分）1.设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.2.给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证是一条平面曲线.微分几何模拟卷C一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)1.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0.(　　　)2.曲面上曲率线网一定存

5、在.(　　　)3.存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面(　　　)4.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。(　　　)5.曲面上的直线一定是测地线。(　　　)二、填空题(每小题3分，共15分)1.向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是_____________。2.曲线r=r(t)的挠率是_____________。3.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_____________。4.直纹曲面的高斯曲率值满足_____________。5.球面上的测地线是_____________。三、计算题（每小题10分共50分）1、求曲线={t,t,t}在原点的密切

6、平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。2、求曲面z=axy上坐标曲线x=x,y=的交角.3、求曲面的渐近线.4、确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.5、求曲面上的曲率线的方程.四、证明题(第1小题5分，2、3小题各10分，共25分)1、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.2、证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。3、证明曲面=是可展曲面.微分几何模拟卷D一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)1.在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。()2.空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。()

7、3.在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。()4.LN-M2不是内蕴量。()5.高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。()二、填空题（每小题3分，共15分）1.曲线r=r(s)的曲率定义是_____________。2.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_____________。3.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是_____________。4.坐标网是渐近线网的充要条件是。55.平面上的测地线一定是_____________。三、计算题(每小题12分，共48分)1、求双曲面z=axy上的曲率线.2、求第一基本形式为的曲面高斯曲率。3、将