06微分几何a卷答案

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1、重庆大学微分几何课程试卷2006~2007学年第一学期CSa卷匚B卷r(5)==Xh/Xvdudv=A1A(S)(15分)Q二试确定曲面.F+y2-z2=l在(1,o,o)处的切平面和法线方程.仃5分)解:设/(x,y,z)=兀2+y2—z2—1,注意(£坊，X)=(2x,2y-2z),一一(3分)且0为/的正则值.(5分)则曲面x2-hy2-z2=1在(1,0,0)处的切平面的切平面方程为兀一1=0(10分)其法线方程为兰二1=2=£,BPx轴(15分)100命题人：张平组题人□

2、nJ]审题人••命题时间：一.设F:RJR3是一个相似映射，它定

3、义为F⑷"q,qwR、,其中2为正常数.考虑正则曲面S和S上一条曲率处处非零的可微曲线C,记F(S)=S,F(C)=C，并设p为C上一点.(1)试找出乙在F(p)处的挠率和曲率与C在#处的挠率和曲率的对应关系；(2)试找出S在F(p)处的Gauss曲率和平均曲率与S在p处的Gauss曲率和平均曲率的对应关系；(3)试找出C的长度和S的面积与乙的长度和g面积间的对应关系.(15分)解：(1)不失一般，设r=r(s)为C以弧长为参数的解析式，令q=F(p),则C:r(5)=Ar(5)，从而r(s)=〃心),r(y)=〃"($),r($)=2产($).A

4、r1(/人产)□产1耳(0)二—二丁絡(0)，吃(彳)二=—rc(/7)(5分)rrat(2)设X为S在p处的参数表示，则FX为g在q=F(p)处的参数表示.令X=FX，于是E=A2E,F=A2F,G=A2G,e=AeJ=2/念=2g,从而彳⑷二攀,77⑷二警(io分)三.考虑正则曲面S={(兀,y,z):(兀,y)eU9z=h(x,y)},其中h是定义在疋中开集u上的光滑函数，对S的一个参数表示X(u,v)二(u,v,h(u,v)),试计算(1)S的第一基本形式的系数E,F,G;(2)S的第二基本形式的系数e,f,g;(3)Christoeffl

5、符号的值.(15分)解：1)易见X“=(1,0,人),X严(0丄代,),X呗=(0,0Jiuu),Xuv=Xvu=(0,0,饥),=(0,0,饥)，从而E二1+尤,F=huhv,G=1+尤(5分)2)X“aX、,=(―化，—几,1),令ct=

6、XmaXv

7、=J1+尤+尤，则“三(―%，—久,1),从而e==^J==虹gxX初N>=如一一(10分)aaa3)考虑方程X刖=r；,Xw+珥X、,+eN比较上述向量方程的第一分支，应有()=£]□+几⑴+庄如,解得(7「二叽二九九“二h血(15分)11

8、per曲面X(u9v)=(3u-u3+3uv2,3v-v3+3vu293(u2-v2)),(«,v)gR2,(1)试证明：该曲面为极小曲面；(2)试计算曲面在任意一点的主曲率；(3)试证明其渐进线方程是uh二常数和u-v二常数.(15分)证明：1）首先，易见X”=3（1-仇2+v2,2uv,2u）.Xv=3（2w;1-v2+m2,-2v）X敗=6（—”,匕1）,X“=6（v,仏0）,Xvv=一6（比，几1）,于是E=9（l+/+『）2，F=（XG=9（l+/+/）2,€=6J=0，g=—6,从而平均曲率"严；君严灯故该'山面为极小曲而促分)刃因◎

9、盏张9(2+疔-4所以由方程k2-2Hk+K=(),解得其主曲率分别为2,=-23（1+/+/）2‘2-3（1+/+『）2（10分）3)将e=6J=(),g=-6代入渐近线的微分方程得2(/)2-2(/)2=0即有(u+v)u一vY=0,从而(u+vY=0或(u-v/=0,由此可得结论一(15分)五.试证明:在双曲点，主方向平分渐近方向.(10分)证:设曲面为S,渐近方向所对应得单位方向向量为ip7；(S),取7；(S)在主方向下所对应的标准正交基为｛弓，勺｝,则"=©cos&+02sin®(3分)其中&是按7；(S)的定向从弓到P的角，则沿v的

10、法曲率由Euler公式，有kn=k}cos23+k2sin20（5分）因为p是双曲点,不妨设/>0,^2<0,又u所对应的方向为渐近方向，所以&cos20+k2sin2^=0从而可知主方向平分渐近方向.（9分）（10分）六•若曲面S],S2沿正则曲线C相交,试证明C在点〃的曲率P可以由下式给出:/sir?。=皆+尤一2彳入COS&其中九人分别是曲面在P点沿曲线C的切线方向的法曲率，g是这两个曲面在p点的法向量所成的角.（10分）证:取4=A]N2,t2=,贝也―斗二比⑴⑷他一"仏“2〉川二申2,"〉“2_〈％川2〉川（2分）而由余弦定理，又有/]—

11、『2—Jf「+巧？_2门2COS0—J人2+入$—仝人石COS0（4分）另一方面又有

12、sm^

13、=

14、^A^2

15、,因与r共线，