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1、一、无穷小量1、定义:极限为零的变量称为无穷小量.§5无穷小量与无穷大量设f在某U°(x0)内有定义,若则称f为当x→x0时的无穷小量。若函数g在某U゜(x0)内有界，则称g为x→x0时的有界量。类似可定义x→x0+,x→x0-,x→+∞,x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。任何无穷小量都是有界量。例1注意（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.问：无穷小是否为很小的数？很小的数是否为无穷小？二、无穷小量与极限的关系定理1意义：（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);三、无穷小量的性质性质
2、1有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是无穷小量.性质2（同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是无穷小，即O(1)·o(1)=o(1).用迫敛性可以证明。证法1：证法2性质2（同一过程中的）O(1)·o(1)=o(1).即O(1)·o(1)=o(1).。时，恒有使得当即MxuxxM£<-<>>$)(0,0,0101dd注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小；无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小.四、无穷小量阶的比较无穷小量之比的极限（0/0）可以出现各种情况：出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.例如,不可比.观察各极限设当x→x0时，
3、f与g均为无穷小量，1．若则称当x→x0时,f为g的高阶无穷小量,或称g为f的低阶无穷小量，记作例如，当x→0时，x,x2,…,xn(n为正整数)等都是无穷小量，有若存在正数K和L，使得在某U°(x0)上有则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量。f与g必为同阶无穷小量。2.注若f(x),g(x)是同阶无穷小量，则可记作f(x)=O(g(x)),但若f(x)=O(g(x)),则f(x)与g(x)不一定是同阶无穷小量。属于函数类3．若则称当x→x0时,f与g是等价无穷小量，记作f(x)~g(x)(x→x0).注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶
4、的比较。例如，当x→0时，xsin1/x和x2都是无穷小量，当x→0时不是有界量，当x→0时不是有界量，故当x→0时，xsin1/x和x2不能比较。例1例２解常用等价无穷小:五、等价无穷小量在求极限问题中的作用定理3设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有f(x)~g(x)(x→x0).证（2）推论证证毕例5解例6解解错注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换。作业P66.1(4)2(2)六、无穷大量定义2设函数f在某U°(x0)内有定义，若则称函数f当x→x0时有非正常极限∞，记作若将
5、“
6、f(x)
7、>G”换成“f(x)>G”或“f(x)<－G”,则分别称f当x→x0时有非正常极限＋∞或－∞，分别记作类似可定义其他极限过程的非正常极限。定义3对于自变量x的某种趋向（或n→∞时），所有以∞，＋∞或－∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。至此，我们定义了极限的全部24种情形。——刻画函数极限值情况。——刻画自变量变化情况。注意（1）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大量.证证七、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量
8、的倒数为无穷大量.证意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大量替换。例3分析证明证明八、曲线的渐近线定义:1.垂直渐近线即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点到直线x=x0距离趋于0。例如有垂直渐近线两条:求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点到直线y=b距离趋于0。3.斜渐近线即动点沿着直线y=kx方向无限远离原点时，动点到直线y=kx+b距离趋于0。由
9、此得到斜渐近线的求法:注意:例4解作业P66.4（3）
