矩阵代数基本知识

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1、附录I矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。一、向量矩阵的定义将个实数排成如下形式的矩形数表，记为则称为阶矩阵，一般记为，称为矩阵的元素。当时，称为阶方阵；若，只有一列，称其为维列向量，记为若，只有一行，称其为维行向量，记为11当为阶方阵，称为的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵的非对角元素全为，称为对角阵，记为进一步，若，称为阶单位阵，记为或。如果将阶矩阵的行与列彼此交换，得到的新矩阵是的矩阵，记为称其为

2、矩阵的转置矩阵。若是方阵，且，则称为对称阵；若方阵，当对一切元素，则称为下三角阵；若为下三角阵，则称为上三角阵。11二、矩阵的运算1．对与的和定义为：2．若为一常数，它与矩阵阶矩阵的积定义为：3．若，，则与的积定义为：根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1．加法满足结合律和交换律2．乘法满足结合律，3．乘法和加法满足分配律，，4．对转置运算规律，，另外，若满足，则称为正交阵。11三、矩阵分块对于任意一个阶矩阵，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩

3、阵，即：写成其中，，，，且，。分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明：。四、方阵行列式的性质一个阶方阵中的元素组成的行列式，称为方阵的行列式记为或。它有以下我们熟知的性质：1．若的某行（或列）为零，则；2．；3．将的某行（或列）乘以数所得的矩阵的行列式等于；4．若是一个阶方阵，为一常数，则5．若的两行（或列）相同，则；116．若将的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于；7．若将的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变，仍等于；8．若和均为阶方阵，则；9．若为上三角矩阵或下三角矩阵或对

4、角矩阵，则10．11．若和都是方阵，则12．若和分别是和的矩阵，则五、逆矩阵设为阶方阵，若，则称是非退化阵或称非奇异阵，若，则称是退化阵或称奇异阵。若是阶非退化阵，则存在唯一的矩阵，使得，称为的逆矩阵，记为。逆矩阵的基本性质如下：1．2．3．若和均为阶非退化阵，则4．设为阶非退化阵，和为维列向量，则方程：11的解为5．6．若是正交阵，则7．若是对角阵，且，，则。8．若和非退化阵，则9．设方阵的行列式分块为：若，是方阵且是非退化，则六、矩阵的秩设为阶矩阵，若存在它的一个阶子方阵的行列式不为零，而的一切阶子方阵的行列式均为零，则称的秩为，

5、记作。它有如下基本性质：1．，当且仅当；2．若为阶矩阵，则；3．；114．；5．；6．若和为非退化阵，则。七、特征根和特征向量设为阶方阵，则方程是的次多项式，由多项式理论知道必有个根（可以有重根），记为，…，，称为的特征根或称特征值。若存在一个维向量，使得，则称为对应于的的特征向量。特征根有如下性质：1．若为实数阵，则的特征根全为实数，故可按大小次序排列成，若，则相应的特征向量与必正交。2．和有相同的特征根。3．若与分别是与阶阵，则与有相同的非零特征根。实际上，因为所以那么，两个关于的方程和有着完全相同的非零特征根（若有重根，则它们的

6、重数也相同），从而和有相同的非零特征根。4．若为三角阵（上三角或下三角），则的特征根为其对角元素。5．若，…，是的特征根，可逆，则的特征根为，11，…，。6．若为阶的对称阵，则存在正交矩阵及对角矩阵，使得实际上，将上式两边右乘，得将按列向量分块，并记为，于是有那么，这表明是的个特征根，而为相应的特征向量。这样矩阵可以作如下分解：称之为的谱分解。八、矩阵的迹若是阶方阵，它的对角元素之和称为的迹，记为。方阵的迹具有下述基本性质：111．若是阶方阵，它的特征根为，…，，则；2．；3．4．5．九、二次型与正定阵称表达式为二次型，其中是实常数；

7、，，…，是个实变量。若为对称阵，，则若方阵对一切，都有，则称与其相应的二次型是正定的，记为；若对一切，都有，则称与二次型是非负定的，记为。记，表示；记，表示。正定阵和非负定阵有如下性质：1．一个对称阵是正（非负）定的当且仅当它的特征根为正（非负）；2．若，则；3．若，则，其中为正数；4．若，因它是对称阵，则必存在一个正交阵，使其中，…，为的特征根，的列向量为相应的特征向量，于是5．若（），则存在（），使得。称11为的平方根。实际上，因为是对称阵，所以存在正交矩阵和对角矩阵使得。有（）可知（），。令，，则有由于的特征根（），，所以（）。

8、十、矩阵的微商设为实向量，为的实函数。则关于的微商定义为：若则定义由上述定义不难推出以下公式：1．若，，则112．若，则3．若，对称阵，则4．若，式中为阶阵，为阶阵，则若为对称阵，则11