正定二次型和正定矩阵1

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1、1正定二次型和正定矩阵第三节2一、正定二次型正定矩阵定义由定义，可得以下结论：充分性是显然的；下面用反证法证必要性：代入二次型，得3由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。4定理推论实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正。☎正定矩阵。这是因为：5解例1判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为,)14)(2(2+--=lll6全为正，因此二次型正定。7定理设矩阵A正定，则（1）A的主对角元全为正；证明8上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。定理9解例2判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为它的顺序主子式为：因此

2、A是正定的，即二次型f正定。10解例3设有实二次型问t取何值时，该二次型为正定二次型？f的矩阵为顺序主子式为：解得11☎实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得实际上，正定二次型的规范形为即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E，即存在可逆矩阵C，使12☎证因为于是132、其它有定二次型定义如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。14显然，A是负定（半负定）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负；（3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正；（4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子

3、式全为正；（1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；（5）若A负定，则A的对角元全为负。注意:1.最后一条只是必要条件。2.A的顺序主子式全非负，A也未必是半正定的。15例如，设矩阵显然A的顺序主子式但对角元有正有负，显然A是不定的。16例5判定下列二次型是否是有定二次型。解（1）f的矩阵为顺序主子式所以f是负定的。17例5判定下列二次型是否是有定二次型。解（2）f的矩阵为顺序主子式所以f是不定的。18练习：P222习题五19ENDEND20选用例题1、解C是正定的。且C是实对称阵，故C是正定矩阵。21证必要性充分性:将上述过程逆推,即可得证.