《函数极限与性质》PPT课件

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1、函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限2、自变量趋向某一确定值x0时函数的极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:自变量趋向无穷大时函数的极限问题:如何用数学语言刻画下述过程:要点:(1)过程(2)函数与无限接近:有定义:设函数

2、当大于某一正数时有定义.如果对任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数使得对于满足不等式的一切函数“无限接近”确定值)(xfA.当时,®x¥自变量趋向无穷大时函数的极限如果对任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数使得对于满足不等式的一切自变量趋向无穷大时函数的极限如果对任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数使得对于满足不等式的一切恒有那么常数就叫函数当时的极限,记作或(当注:根据上述定义,可用语言描述如下:“使得时,恒有”几何解释:自变量趋向无穷大时函数的极限“使得时,恒有”单侧极限:情形:

3、即使当时,恒有情形:使当时,恒有定理且即例1证明证因为于是可取则当时,恒有故证毕.例2用极限定义证明证对于任意给定的要使只要即就可以了.因此，对于任意给定的取则当时，例2用极限定义证明证因此，对于任意给定的取则当时，例2用极限定义证明证因此，对于任意给定的取则当时，恒成立.所以注：同理可证：而当时，时，当例3证明证由现在，令于是，若取则当时，就有即证毕.自变量趋向有限值时函数的极限问题:如何用数学语言描述下述过程:在的过程中,函数无限趋近于确定值要点:(1)过程体现与的接近程度.(2)函数与无限接近:有定义

4、若对任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数使当时,函数都满足不等式设函数在点的某一去心领域内有定义.自变量趋向有限值时函数的极限不等式自变量趋向有限值时函数的极限不等式则常数就称为函数当时的极限.记作或(当de-定义使当时,恒有注意:1.无关;2.与任意给定的正数有关.定义的几何解释:在点处是否有定义函数极限与几何解释:例4证明证函数在点处没有定义,任给要使只要取则当时,就有例5证明:当时,证任给要使只要且则当时,就有取,左右极限左极限使当时,恒有记作或右极限使当时,恒有记作或注意左右极限或注意左右极限

5、或注意定理例7验证不存在.证左右极限存在但不相等.不存在.例8设求解因为即有所以不存在.例9设求解在处没有定义,而故不存在.在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？问题思考函数极限的性质与收敛数列的性质相比较,可得函数极限的一些相应性质.下面仅以的极限形式为代表给出这些性质,至于其他形式的极限的性质,只需作出些修改即可得到.唯一性定理若存在,则极限唯一.有界性定理若则存在常数和使得当时,有保号性定理若且(或则使得当时,有函数极限的性质则使得当时,有函数极限的性质则使得当时,有故若取则使得当时

6、,有证毕.证只证的情形.因(或注:由证明可见,保号性定理的结论可加强为推论若且在的某去心邻域内(或则(或如果函数f(x)、g(x)及h(x),0<

7、x-x0

8、$>"edde时有当按假设.)(0,0202edd+<<-<>$Axhxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()(0},,

9、min{021xhxfxgxx££<-<=dddd,)()()(ee+<££<-AxhxfxgA.)(lim)(0Axf，Axfxx=<-®即由此得e夹逼性结论对x也成立。(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n如果limf(x)=Alimg(x)=B那么四则运算法则(1)lim[f(x)g

10、(x)]=limf(x)limg(x)=AB解例解因为例例求解时，分子和分母的极限都是零先约去不为零的无穷小因子后再求极限.消去零因子法例计算解因分母的极限为0，故不能应用极限运算法则，而要先对函数做必要的变形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后约去分子分母中的公因子.例先用x3去除分子及分母然后取极限解先用x3去除分子及分母然后取极限例解:例例已知求之值.解因例已知求之值.解因例已知求之值.