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1、第七节一、函数单调性的判别法机动目录上页下页返回结束二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值第二章三、函数在闭区间上的最大值与最小值一、函数单调性的判别法定理2.10设函数证:设任取由拉格朗日中值定理得故这说明上单调递增.机动目录上页下页返回结束例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束例2.二、函数的极值及其求法定义2.3:(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.机动目录上页下页返回结束极大值与极小值统称为极值.注意:函数的极值是函数的
2、局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结束注意:为极大点为极小点不是极值点驻点不一定是极值点．定理2.11机动目录上页下页返回结束驻点.定理2.12(极值第一判别法)邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,机动目录上页下页返回结束(3)不变号,求函数极值的一般步骤：P68-69.可导:驻点极值可疑点不可导:不可导点极值点不是极值点极值点不是极值点例3.求的极值.解:1)求导数2)求驻点令得3)列表判别是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束例4.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得得3)列
3、表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理2.13(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.机动目录上页下页返回结束例5.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束三、函数在闭区间上的最大值与最小值则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值机动目录上页下页返回结束例6.求最大值和最小值.解:机动目录上页下页返回结束四、应用问题举例实际问题中，在一定条件下，往往要使“材料最省”
4、，“效率最高”，“性能最好”，“进程最快”等，可归结为求最大（小）值．实际问题中，驻点就是最值点．(k为某一常数)例7.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,机动目录上页下页返回结束清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例8.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻
5、点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最机动目录上页下页返回结束内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减机动目录上页下页返回结束2.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值由负变正为极小值过不变号(3)第二充分条件为极大值为极小值可导:驻点极值可疑点不可导:不可导点极值点不是极值点极值点不是极值点最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.3.连续函数的最值机动目录上页下页返回结束（
6、驻点就是最值点.)1.试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为求出该极值,并指出它是极大机动目录上页下页返回结束思考与练习3.在坐标平面上通过一已知点P(1,4)引一条直线，要使它在两坐标轴上的截距都为正，且两截距之和为最小，求这条直线方程．Pbao
