《调性和极值》PPT课件

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1、3.4.1函数单调性的判定法3.4.2函数的极值及其求法3.4函数的单调性和极值3.4.3最大值与最小值问题3.4.1函数单调性的判定法如图所示单调递增曲线上各点处的切线斜率是非负的单调递减曲线上各点处的切线斜率是非正的若设函数则在I内单调递增(递减).证明无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕定理3.4.1例1确定函数的单调区间.解令得故的单调增区间为的单调减区间为注(1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,(2)如果函数在某驻点两边导数同号

2、,则不改变函数的单调性.例如,讨论函数的单调性可按下列步骤进行:(1)确定连续函数的定义域;(2)求出(3)判断在每个区间内的符号,就可以确定出函数的单调区间.例2证明时,成立不等式证明令则由于得证!3.4.2函数的极值及其求法定义3.4.1在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.注为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如(例1)为极大点,是极大值

3、是极小值为极小点,定理3.4.2(第一充分条件)且在空心邻域内有导数．(1)如果处取得极大值。(2)如果处取得极小值。(3)如果处没有极值。求极值的步骤:例3求函数的极值.解1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为定理3.4.3(第二充分条件)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例4求函数的极值.解1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.试问为何值时,在时取得极值,还是

4、极小.解由题意应有又取得极大值为例5求出该极值,并指出它是极大例6(隐函数的极值)设,求由方程所确定的函数在内的极值点.解(1)(2)(3)例7(参数方程所表示的函数的极值)求由参数方程解由于又因为所以3.4.3最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(各驻点或不可导点)(2)最大值最小值情形1:例8求函数在闭区间上的最大值和最小值.解显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.当在区间内可导只有一个极值驻点时,若在此点取极大值,则也是最大值.(小

5、)在应用问题往往会遇到这种情形.(小)情形2:例9把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.这时如果函数在区间内部只有一个在应用问题中,往往根据问题的性质就可以情形3:判断内部取得,确有最大值或最小值,而且一定在定义区间驻点就可以判定是最大值或最小值.解例10小结2.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件

6、过由正变负为极大值过由负变正为极小值在I上单调递增在I上单调递减1.可导函数单调性判别(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.3.连续函数的最值1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.思考2.设在的某邻域内连续,且处则在点(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻

7、域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A作业P1161;2;4;5;6;8;9