间接平差原理

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1、§4-1 间接平差原理2学时 间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式（4-1-1）可得（4-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参

2、数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2）式可写成如下形式：（4-1-3）式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾，、、可有多组解，为此引入最小二乘原则：可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的

3、最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：，设观测值为等精度独立观测，则有：按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得代入误差方程式，得到观测值的最或然值此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。一般地，间接平差的函数模型为（4-1-4）平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都取近似值，令（4-1-5）代入（4-1-4）式，并令（4-1-6）由此可得误差方程（4-1-7）式中

4、为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（4-1-5）式，可得平差后，由（4-1-6）式可得。间接平差的随机模型为（4-1-8）平差准则为（4-1-9）间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数，在数学中是求多元函数的自由极值问题。 一、间接平差一般原理设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵，必要观测数为t，选定t个独立参数，其近似值为，观测值L与改正数V之和，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为（i=1，2

5、，3，…，n）（4-1-10）令则平差值方程的矩阵形式为（4-1-11）令（4-1-12）式中为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为（4-1-13）按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得转置后得（4-1-14）以上所得的（4-1-13）和（4-1-14）式中的待求量是个和个，而方程个数也是个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。解此基础方程，一般是将（4-1-13）式代入（4-1-14）式，以便先消去，得（4-1-15）令上式可简写成

6、（4-1-16）式中系数阵为满秩矩阵，即，有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之，得（4-1-17）或（4-1-18）将求出的代入误差方程（4-1-13），即可求得改正数V，从而平差结果为（4-1-19）特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4-1-16）的纯量形式为（4-1-20）二、按间接平差法求平差值的计算步骤1．根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；2.将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程（4-1-13）；3．由误

7、差方程系数B和自由项组成法方程（4-1-16），法方程个数等于参数的个数t；4.解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；5．由误差方程计算V，求出观测量平差值；6.评定精度。 例[4-1]在图4-1所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下：=+1.003m，=+0.501m，=+0.503m，=+0.505m；=1km，=2km，=2km，=1km。已知=11.000m，=11.500m，=12.008m，试用间接平差法求及点的高程平差值。图4-1解：1.按题意知必要观测数

8、=2，选取、两点高程、为参数，取未知参数的近似值为、，令2km观测为单位权观测，则。2．根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有可得、和矩阵如下、、3．由误差方程系数和自由项组成法方程得解得4.解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；5．由误差方程计算，求出观测量平差值；