《A116高斯公式》PPT课件

《《A116高斯公式》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、总结§11.6高斯公式证明根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法同理高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.使用Guass公式时注意:解解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式故所求积分为解或：例4.设为曲面取上侧,求解:作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标S三、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为若为方向向外的闭曲

2、面,当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为③方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.定义:设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有

3、向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度.记作divergence表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A处处有,则称A为无源场.例如,匀速场故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且*例5.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.在磁感应强度向量分布的磁场中，穿过曲面S的磁通量又例如：电位移向量分布的电场中，穿过曲面S的电通量S

4、是速度场中一片有向曲面，是曲面S在点M（x，y，z）处的单位法向量，则单位时间内流体经过曲面S流向指定侧的流体总质量为：通量的定义:在单位时间内流体向正侧穿过曲面S的正流量、负流量的代数和。如果S是一封闭曲面，则流量若φ>0，表示流出多于流入，S内部有产生流体的泉源；φ<0，表示流出少于流入，S内部有吸收流体的洞；φ=0，表示流出与流入平衡。通量为正、为负、为零时的物理意义：内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:2.通量与散度

5、设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)为备用题设是一光滑闭曲面,所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则的夹角,积为V,高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发

6、展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.