数学模型试题

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1、数学模型试题及答案一．简答题1、什么是数学模型？（5分）答：数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。2、建立数学模型的方法有哪些？（5分）答：一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类，一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。同时也可以说成：机理分析、统计分析、系统分析相结合。二、.智力题九宫图,请把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3乘以3的正方形格子,使3个行中每个行的数字总和为15,3个列

2、中每个列的数字总和也15,两个对角线数字总和也15.建模求解出这9个数字的填法(1)先证明填入中间格数字为5(7分)(2)用推理或建立模型方法求出其它数字(建模只说明求解,不求具体解,8分)解:(1)把第2行,第2列,两对角线所有数字相加,12,3,4,5,6,7,8,9数字各出现1次,而中间数字记为x多出现了3次,列出方程(4分)(2分)解方程得x=5,(1分)abc159mnk中间格x22为5(2分)(2)数字1不能填对角,否则相应一个对角为9而1对应行,列总和为14,而14=6+8仅有一种排法由对称性

3、有右图填法(2分)把余下数分3个一组,按总和为15分为834159672第一组(3,4,8)预放入第1行,(2分)第2组(2,6,7)预放入第3行(2分)调整次序不难得出右图最终结果(2)别一法:利用上图列出方程(5分)解空间是1维,取k为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数(3分)三．不允许缺贷的存贮模型,试作出一些必要而合理的假设，建立的数学模型并求解(共15分)解:模型假设:1.产品每天需求量为常数r(2分)1.每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2(2分)

4、2.生产能力无限大(2分)模型建立一周期总费用如下::(3分)一周期平均费用为(2分)模型求解:用微分法解得周期(2分)贮存量(2分)四．建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球的初速度为，出手高度为，出手角度为2，（与地面夹角），试建立投掷距离与的关系，并求在一定的条件下最佳的出手角度2。解：如图建立坐标系，易得时刻铅球的位置满足如下方程。hORx…………8分解之得：………………（1）…………（2）……………10分由（2）令，求得铅球的落地时间代入（1）求得掷远为……（3）………13分（3）又可表示为：令得出

5、最佳出手角度…………15分五．经济型捕鱼模型是其中00试求出平衡点,并判断平衡点稳定性解:解方程得到平衡点（2分）设右2元函数求偏导得（2分）平衡点时,系数矩阵（2分）不难得出特征方程（2分）的两个特征根是实部是负数,其是稳定的,中心（2分）六、相对总目标C，准则的权重为，相对与准则，方案的判断距阵为，相对与准则，方案的判断距阵为，试用和法求方案对总目标的权重。答：中各列归一化各行求和再归一化=6分中各列归一化各行求和再归一化=6分所以三个方案对总目标的权重为：3分七、理事会有5个常任理

6、事和10个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少4个非常任理事赞成时方可通过，求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重。（10分）解：设，其中表示常任理事，表示非常任理事，特征函数定义为：，当中任意个元素的集合，时，，当为的其它子集时，特征函数取1的子集共有个，且每个的而常任理事在投票中所占的权重为0.196，而非常任理事在投票中所占的权重为：0.002。八、设三家公司同时向市场投放一种轮胎，当时三家公司所占的市场份额相等，但在第二年中，市场份额就发生了如下变化。甲公司保持其顾客的80%，丧失5%给乙，

7、丧失15%给丙。乙公司保持其顾客的90%，丧失10%给甲，没有丧失给丙。丙公司保持其顾客的60%，丧失20%给甲，丧失20%给乙假设顾客的购买倾向与第二年相同，试问第三年底三家公司各占多少市场份额？若依此发展下去，市场如何分配？解：状态定义为则容易得到转移概率矩阵，以表示第n年三公司所占市场份额则：………………（1）又已知：当时，三公司的市场占有率设为则有：由此解得