离散傅立叶变换

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1、第三章离散傅立叶变换理解傅里叶变换的几种形式了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系了解频域抽样理论理解频谱分析过程了解序列的抽取与插值过程连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换第一节傅立叶变换的几种可能形式时域频域傅立叶变换一、连续时间，连续频率——傅立叶变换(FT)这是连续时间，非周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度

2、函数X(j)。时域连续频域非周期时域非周期频域连续二、连续时间，离散频率——傅立叶级数(FS)这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有一个频率分量。X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。时域周期频域离散三、离散时间，连续频率——序列的傅立叶变换(DTFT)由第一章采样定理的知识，我们知道：时域离散，将导致频域周期化，且这个周期是s。时域离散频域周期四、离散时间，离散频率——离散傅立叶变换(DFT)上面所讲的三种傅立叶变

3、换至少在一个域内是连续的，不适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。思路：从序列的傅立叶变换出发，若时域为离散的序列，则频域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周期化。于是有：时域离散、周期频域周期、离散DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数5、栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密。可以看出，离散傅立叶级数的谐波成分只有N个是独立成分：这说明，时域的离散导致了频域的周期化。即：第二节周期序列的傅立叶

4、级数注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周期序列均可分解为基波、二次、三次…、k次谐波的组合)。连续时间周期信号离散时间周期信号周期基频基频序列K次谐波序列对离散傅立叶级数，只能取k=0到N-1的N个独立谐波分量，我们令：说明：这里，是K次谐波的系数。1/N看作是一个人为从中提取的一个常数，这是为了后面运算的方便。求解系数：则：说明：只有当：k-r=mN时，中括号内才为1，而因为：k∈[0,N-1]，所以有取m=0，即：k=r。若把上式中的r换成k，得到：可

5、以看出的周期性：周期为N的的离散傅立叶级数只有N个不同的系数。周期序列的离散傅立叶级数对(DFS)：说明：只要知道周期序列一个周期的内容，其DFS、IDFS就可以都可以得到，所以说实际上只有N个序列值有信息。周期序列与有限长序列存在这样的联系：将有限长序列进行周期延拓就可得到周期序列离散傅立叶级数与Z变换的关系：周期序列可以看作是对的一个周期x(n)作z变换，然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角2/N抽样而得到。令：则x(n)的z变换为：例：已知序列x(n)是周期为6的周期序列（如图所示），试求其DFS系数。第三节离散傅立叶

6、级数的性质由于可用抽样z变换解释DFS，故DFS的许多性质与z变换相似。但与都具有周期性，所以DFS在时域和频域之间存在着严格的对偶关系，这是序列z变换所不具有的。1、线性2、序列的移位3、调制特性4、周期卷积和说明：周期卷积与线性卷积的不同之处：①参与周期卷积的序列是周期序列。②周期卷积和只在一个周期上(0～N-1)进行。线性卷积：第四节离散傅立叶变换(DFT)周期序列只有有限个序列值有意义，我们可以把长度为N的有限长序列看作是周期为N的周期序列的一个周期，就可以利用离散傅立叶级数DFS来计算了。设x(n)为有限长序列，

7、点数为N，在n=0～N-1处有值。为x(n)的以N为周期的周期延拓序列。有时也写成：与x(n)的关系：①的第一个周期：n=0～N-1定义为“主值区间”。②x(n)为的“主值序列”。③对不同的r值，x(n+rN)之间彼此不重叠，故可写为：其中，(n模N)或((n))N数学上表示“n对N取余数或取模值”。例：的周期为N=9，求和所对应的x(n)。同理，对频域的周期序列也可看成是有限长序列的周期延拓，为的主值序列。从DFS和IDFS的表达式可知，求和只是在n=0～N-1的主值区间上进行，所以它完全适用于x(n)和X(k)这两对主值序列。

8、由此我们得到有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)的定义：注意：①回忆DFS，我们发现他们的形式基本一致，只是DFT仅考虑主值序列(有限长)，而DFS考虑的是一个周期序列。因此DFT的定义形式中一定会有对主值区间范围的的说明。②x(n)与X(k)均