定比分点的向量公式及应用_慕泽刚

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1、名师点金MingShiDianJin方法技巧定比分点的向量公式及应用定比分点的向量公式及应用◇重庆慕泽刚定比分点的向量公式:设P1,P2是直线l上的较近的一个三等分点,D为C!"B上距C较近的一个两点,点P是l上异于P1,P2的任一点,且P!"1P=λ三等分点,用a,b表示!O"D.!"!"O!"P1+λO!"P2BPP2,O是此平面内任一点,则OP==1+λ1!"λ!"OP1+OP2.D1+λ1+λ!"O!"P1+O!"P2C人特例:若P为P1P2的中点,则有OP=.O2教A大一、求点的坐标!"1纲利用定比分点的向量形式求点的坐标主要是解析一因为C为

2、AB上的三等分点,则λ=2,专数学中的整体思想的应用,即将点的纵横坐标处理!"1!"λ!"21业S所以OC=OA+OB=a+b,1+λ1+λ33精心策划在包含纵横坐标的向量中,其解题过程简单快捷.例1已知点A(-6,-1),B(6,5),点C为直线又D为C!"B的三等分点,则λ′=1,高2!"!"AB上一点,且AC=-5BC,求C点的坐标.一!"1!"λ′!"221所以OD=OC+OB=(a+b)+!"!"!"!"1+λ′1+λ′333解析因为AC=-5BC,AC=5CB,所以λ=5,145利用定比分点的向量公式有b=a+b.399!"1!"λ!"15

3、OC=OA+OB=(-6,-1)+(6,5)解析二由已知条件得D分AB所成的λ=1+λ1+λ665!"1!"λ!"45=(4,4).,则OD=OA+OB=a+b.41+λ1+λ99所以C点的坐标为(4,4).评注用已知向量表示其他向量也是一个热评注利用定比分点的向量公式求点的坐标点,常规的解法是利用三角形法则或平行四边形法关键是要正确确定λ的值.确定λ的值的方法有多则,而本题利用定比分点的向量公式,过程相对较种,特别要抓住条件中的比例关系、平行关系及图为简单,特别是解析二.形的相似性等.三、证明三点共线二、用于表示向量利用定比分点的向量形式解决三点共线

4、的主由于定比分点的向量公式均以向量的形式出要方法是在其中两个点确定的直线上确定一个点,现的,公式的右边是左边向量式的表示,因此进行与第三点重合,即可证明三点共线.向量表示时,如果题中出现分点或比例关系时,就例3已知点A(a,b+c),B(b,c+a),C(c,a+b),可以借助此公式.求证:A,B,C三点共线.!"!"!"例2如图,已知OA=a,OB=b,C为AB上距A!"!"证明设C′(c,y)在AB上,C′分AB的比为λ,!"#数学爱好者名师点金MingShiDianJin!"1!"λ!"1λ分点在端点的情况,同时注意分类讨论思想的应用.则OC′=

5、OA+OB=(a,b+c)+1+λ1+λ1+λ1+λ五、解决平面几何问题a+λbλa+b+λc+c(b,c+a)=(,),1+λ1+λ定比分点的向量形式实质上应用在三点共线#a+λb的基础上的,而平面几何图形中无处不存在三点共%c=,#%%a-c%1+λ%λ=,%%c-b线的情况,因此只要我们善于捕捉与所要解决问题则$解得’%%%λa+b+λc+c%%%y=,&y=a+b.相关的三点共线,就可以使问题顺利解决.%1+λ&例5如图所示,在平行四边形ABCD中,P点所以点C′(c,y)与点C(c,a+b)重合,由题设知APAQC在AB上,所以A,B,C三点

6、共线.在线段AB上,且=m,Q在线段AD上,且PBQD评注本题证明三点共线是借助已知点C的PR=n,BQ与CP相交于R,求的值.横坐标另设一点C(′c,y),再通过利用定比分点坐标RC公式求出y,进而得出C′与C点重合达到证明的目AQD的.此题点C′也可以设为(x,a+b).PR四、求字母系数范围BC利用定比分点坐标公式求参数的取值范围主!"!"!"!"解析设BA=a,BC=b,PR=λRC,要是根据分点P的位置不同,对应定比λ的范围也PR人不同求解的,即当P为内分点时λ>0;当P为外分所以=λ,RC教点时,λ<0(λ≠-1),①当P为AB延长线上点时

7、,λ<-1,由题意有!A"P=mP!"B,A!"Q=nQ!"D,则大②当P为BA延长线上时,-1<λ<0;当P与A重合纲!"1!"1!"1BP=PA=BA=a,时,λ=0;当P与B重合时,λ不存在.m1+m1+m专业S例4已知点A(3,3),B(-1,5),一次函数y=因为Q分!A"D的比为n,则精心策划kx+1的图象与线段AB有公共点,求实数k的取值!"1!"n!"1nBQ=BA+BD=a+(a+b)=高1+n1+n1+n1+n范围.n一解析设P(x,y)为一次函数图象与线段AB的a+b,1+n!"交点,把P看作AB的定比分点,定比为λ,则有λ≥!"

8、1!"λ!"1BR=BP+BC=a+!"1!"λ!"1+λ1+λ(1+λ)(1+m)0,由定比