杨辉三角形与高阶等差数列

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1、三角形与高阶等差数列宁夏中卫中学麦兴旺一、杨辉简介杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。杨辉一生留下了大量的著述，他编著的数学书共五种二十一卷。他非常重视数学教育的普及和发展，为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：11112113311464171510

2、10511615201561.....................................法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”一、杨辉三角的性质1、杨辉三角的产生（1）、由11的n次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。如下图：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)……（2）、（a+b）n的展式的系数1(n=0)1

3、1(n=1)121(n=2)1331(n=3)14641(n=4)15101051(n=5)1615201561(n=6)……2、杨辉三角的性质7（a+b）r的展开式的系数排列如下1(r=0)11(r=1)121(r=2)1331(r=3)14641(r=4)15101051(r=5)1615201561(r=6)…………1cc……　　c……　　c1(r=m)　…………1cc……　c　c　　　　　　c1(r=n-1)1cc……　　　　　　　c……　　　　　　c1(r=n)1ccc……c……c1(r=n+1)1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式展开

4、式的系数列。{c}。2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即。3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即c=c+c。4°c+c+c……+c……+c+c=2一、杨辉三角中的高阶等差数列１、差分数列：数列相邻项的差称为数列的差分，由数列的差分所组成新数列称为差分数列如数列，如a,a，a……a……的差分b,b，b……b……(b=a-a)称为一阶差分数列；由b,b，b……b……差分组成数列c,c，c……c……称为二阶差分数列；……２、高阶等差数列：若一数列的r阶差分数列是常数列（它的r+1阶差分是零）

5、则称这个数列为r阶等差数列。一阶等差数列即是我们所说的等差数列。二阶及二阶以上的等差数列通称为高阶等差数列。如1，3，4，5……，n……是一等差数列；1，3，6，10，……是二阶等差数列。３、杨辉三角中的高阶等差数列7　我们先讨论杨辉三角中n为前7行时的情况。分别为每一斜行标号，如图所示：(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15　　（一阶）

6、把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20　　（二阶）把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15　　　（三阶）把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6　　　　　（四阶）将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。111121133114641151010511615201561由上面可猜想得到：杨辉三角中n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和.即：杨辉三角中有第i斜线的前n个数的和等于第i+1斜线的第n+1个数；　　1+1+1+1+……+１＝c；　1+2+3+……+c=c;1+3+6+1

7、0+……+c＝c；　1+4+10+20+……+c＝c;　　……c++c+……+c=c(r=1,2,3,……)(*)公式(*)为杨辉三角的首项为１的r阶等差数列求和公式。c为通项公式c为前n项和的公式。四、一般高阶等差数列的通项公式及前n项的和7设{an}为一r阶等差数列，现给出它的通项公式和前n项和的公式；１、求r阶等差数列的通项公式设　a,a，a……a……为一r阶等差数列，现用逐差法求通项公式；各阶差分数列　一阶　b,b，b……b……　(b=a-a)二阶　c,c，c……c……　(c=b-b)三阶　m,m，m……m……　(m=c-c)……设d为各阶差分数列的首

8、项，则有d=b=a-ad=c=b-b则