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《高阶等差数列的探究与应1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高阶等差数列的探究与应用岚皋中学方歆刘同中一、问题提出：问题1：数列1,2,3-,n的通项公式怎样？如何求其前“项和？问题2:数列"，22,32-n2的通项公式怎样？如何求其前〃项和？二、分析理解对于问题1:显然是一个等差数列，首项5=1,公差d=l,通项公式an=+（t?-l）d=1+（n-1）=n=C：・其前n项和Sn==C：J仔细观察其前〃项和公式和通项公式，具有明显的组合数特征，对于通项公式a”二⑷+（n-l）d有an=+C_xd于是s”=%+也+勺+=（C加+C加）+（cM+c：d）+（c；S+c；d）+・・・+（cl①+C[d）=⑦（&+C,°+C；）+…+C,；J
2、+d（C（；+C：+C；+・・・+C*_!）二也+dC；由此可知，对于一个等差数列仏｝,通项公式/其前〃项和spcm。而对于一个等差数列仏｝,它的加次幕仏计的通项公式和前"项和又会怎样？这里先以数列12,22,32…，，为例作进一步探究。由于在数列1,2,3…,斤的通项公式%=Cig+C£d中，5为数列的首项，d为公差，也可看作由原数列每相邻两项。曲与乙之差形成的新数列仏屮-色〉1,1,1,…，1的首项，不妨记作&严1,即有由此可知用V与c二的线性组合可表示匕，和应的系数为⑷与M,这会使我们产生类比的联想：是否可用cl、c爲与C二的线性组合来表示12,2S3?…，"2.且相应的系
3、数为如、A2^?这里有：an:I2,22,32•••,n2;其中a,=12.an:3,5,7,…，2斤-1；其中&/]=3.△匕:2,2,2,•••,2;其中△匕=2.不妨令j+C：tM+C二△匕=CL+3C：一+2C二而C^+3Cl+2C：w2此恒等式表明猜想：卩，22,32…的通项公式％=八完全可以改写为a”=Cl+3C；i+2C],由此很容易推出此数列的前〃项和公式：S”=%+勺+°3+・・・+色=12+22+32+・・・+〃2=Q+3C：+2C；）+（C：）+3C；+2Cf）+（C；+3C；+2C；）+・・・+（C；】+3C：t+2C二）皿+Cf+C；+・・・+如+3（
4、^+©+0；+・・・+粘）+2（C；+C：+C；+・・・+昭）=c；+3C；+2C；三、抽象概括：1、对于常数数列仏｝,我们称之为零阶等差数列，通项公式an=C],前"项和公式Sn-aAC；2、对于常见的等差数列仏｝,我们称Z为一阶等差数列，通项公式0“二+C；_]Ad],前〃项和公式Sn-axC+M]C；;3、若仏｝为一阶等差数列，则称；<｝为二阶等差数列，令久=<,即0”｝为二阶等差数列，其通项公式b„=C^bt+3CM+2C；申,其中卍b严C；也-Ch+c；b-+…+（_iyc；b++…+㈠）叱％其中厂=0,1,2。二阶等差数列其前"项和公式=C>.+C^b｝4-C^b
5、｛.4、若&”｝为一阶等差数列，则称W"｝为加阶等差数列，令仇BP｛bn｝为加阶等差数歹U,其通项公式仇二妝+c£a色+…+c：：冲，其中aaA=cXi-c>,+・・・+（—+・・・+（—1）七畅=X（-Drc;^+1_rr=0其前n项和公式S“=C：△妝+C壮b、+C；△色+・・・+C：：&b中+]辽C：小r=l注:1>在C：中,弘/n均为非负数,且沁0,若715,则C；=0;若72=加，贝LlC；=1；若72〉加,贝UC；：=；2、A0/?]=bt;3、当业严士（-iyc；b+」（常数）时，则数列g为k阶等差数r=0“_2k列可通过公式C爲叽三工C：T工（-1）七仮+"证明£
6、阶等差数列的；=0通项公式:bn三C：_]b]+C：_]Ab]+C；_Ab]+・・・+C：_]A%"0四、应用举例试求下列各数列的组合数通项公式：(1)1,2,3…，n；(2)I2,22,32…,“2；(3)I3,23,3?…，n3；(4)I4,24,3°…，J；解:(1)此数列显然是一阶等差数列，则:A°a.=a1=l,△%所以通项公式〜二C笃+CL;其前n项和S”二C；+C；。(2)此数列是二阶等差数列，则:A%=at=l,Aoj二邙色-C；d]A26f,=C；)a3—Ca2+C；Q]=9-2x4+1=2所以通项公式=C紅+3C：“+2C；K前n项和S“=C+3C：+2
7、C：(3)数列&2F…，/为三阶等差数列。其中⑷=1：a3=33f…，an—n3,则:△°%=0[=1,=C^a2—Ca{=7>A26f,=C；©-Ca2+=12,=C^6z4-+C^a2—C^aA=此三阶等差数列的组合数通项公式为：%=+Ct.A2^,+C+7Cl+12CL+6C；“其前n项和S“二C；+7C；+12C；+6C：=4-1=3,,a2=24(3)数列l4,24,y…,714为三阶等差数列。其中a,=r°3=3°,…，an=n4,贝I」：A°«,=a}=1,A
