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1、高阶等差数列的探究与应用岚皋中学方歆刘同中一、问题提出：问题1:数列1,2,3…，〃的通项公式怎样？如何求其前〃项和？问题2:数列r,22,32…沪的通项公式怎样?如何求其前〃项和？二、分析理解对于问题显然是一个等差数列，首项如=1,公差d=l,通项公式an=a{+（n一l）d二1+（“-1）=n=C：・其前〃项和S“=小:匸）=C,f+1仔细观察其前71项和公式和通项公式，具有明显的组合数特征，对于通项公式=d]+（比-1）〃有a”二Ch+C」I于是S“=a{+a2+a3+・・・+碍=（C%+C；d）+（CM+C；d）+（C；
2、“+C；d）+…+（G；®+C；,/）=e（v+G°+©+…+c轨）+d（c：+c；+c；+…+c：T）*+〃c：由此可知，对于一个等差数列仏},通项公式％/其前〃项和szcgc；。而对于一个等差数列仏},它的加次幕hT的通项公式和前〃项和又会怎样？这里先以数列1S22,32…,沪为例作进一步探究。由于在数列1,2,3…，〃的通项公式色严CSe+C^d中，®为数列的首项，d为公差，也可看作由原数列每相邻两项°讪与碣之差形成的新数列曲-①」：1，1，1,…，1的首项，不妨记作皿广1,即有由此可知用Cl与cl的线性组合可表示％,相应
3、的系数为®与△%,这会使我们产生类比的联想：是否可用皓、cl与C二的线性组合来表示1S22,32且相应的系数为⑷、&“、巾?这里有：an:I2,22,3,…，n2;其中ax=I2.△a“:3,5,7,…，2/?-1；其中A%=3.A26z,:2,2,2,…，2；其中△%]=2.不妨令色严衣也+CL側+睜公⑷=Cl+3Cl+2C：而Cl14-3C：_1+2C；_I^/i2此恒等式表明猜想：IS22,32-,n2.的通项公式色完全可以改写为a”=C；,+3C：t+2昭，由此很容易推出此数列的前"项和公式：s“=%+勺+他+・••+/
4、=12+22+32+•••+/12=Q+3Co+2C；）+（C；）+3C：+2C；）+（C；）+3C；+2C；）+…+（C红+3Cl+2C=）=（V+C：+C；+…++3（C*+c；+c*+…+C：T）+2（c；+g2+c；+・・・+c；j=C：+3C；+2C；三、抽象概括：1、对于常数数列匕」，我们称之为零阶等差数列，通项公式Cin二Cl,前〃项和公式S”二d
5、C；；2、对于常见的等差数列仏」，我们称Z为一阶等差数列，通项公式％=Ci+c：_a,前“项和公式s“二％c；+MC：；3、若仏｝为一阶等差数列，则称｛<｝为二阶等差数
6、列，令饥皿,即｛乞｝为二阶等差数列，其通项公式bn=C^b｛+3C；MQ+2C二巾,其中疋b=C：b比—ch+叽+…+(-l)rC；/Wr+・・・+(»C；b其中r=0,1,2o二阶等差数列其前〃项和公式S”二盼+论+C,^%・4、若仏｝为一阶等差数列，则称计为加阶等差数列，令仇=<,即｛bn｝为加阶等差数列，其通项公式饥二△妝+c二a汝+•••+*△%，其中凶严C%+
7、-C以+…+(-1)9；如+—+・・・+(T)"C仙=E(-i)rc;/Wrr=0其前“项和公式S”=c：△妝+c；M+c沖+・・・+c：△飞冬+[r=l注
8、:k在C；中,n,m均为非负数，且m>(),若“5,则C；=0;若:n=m.贝UC；=I;若,〉m,贝UC；；=—__-;m｛n-m)2、A0/?)=b｝;3、当呱二士(7yc；b+=d(常数)时，则数列仮｝为£阶等差数r=0列可通过公式CL蚊三亍0士(-1"他+“证明R阶等差数列的/=Jt-l；=0通项公式:"三C：攸+c；M$+c；M%+•••+◎“％三工・k=0四、应用举例试求下列各数列的组合数通项公式:(1)1,2,3…，〃；(2)I2,22,32…，心(3)I3,23,3’…，n3:解:(1)此数列显然是—阶等差数
9、列,则:A°a,=d]=1,M=C^a2-C：%=1所以通项公式心=C紅+Cl;其前兄项和S”=C：+C；o(2)此数列是二阶等差数列，则：A°6Zj=a}=1,△%二丁色-Ch=4-1=3,A2a(=C；)%-Ca2+C；Q
10、=9-2x4+1=2所以通项公式a”==Co"一1其前n项和S“=C：+3C：+2C；(3)数列l3,23,33-,n3为三阶等差数列。其中«1=13,a2=23,03=3’，…，atl=n39贝【J:=d[=1,=Cfa2—C^a}=7,=6•••此三阶等差数列的组合数通项公式为:%=C二△%]+C：
11、tM+C；MN二C匕+7CL+12C；
12、+6C；t其前〃项和S“=U+7C；+12C；+6C：(3)数列广，24,34…，泸为三阶等差数列。其中⑷=广，色=24,如=34,…，an=n4则：△°%=d
13、=l,&a
14、=C
15、ci~)—C
16、ci
17、=15,A2^!=C?
