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1、,宁教,(20,年第’期’··+新课很讲坛等差数列与高阶等差数列一仪旧27北京东直门外胡家园小区1412明知白1什么是商阶等差数列于是有aZ一a.二,二,请看数列b6,,,,,,,61220304256⋯¹a3一aZ二2二,68:它的构成有什么规律呢?不难发现每相邻两a4一a3二3二,610项的差(后项减前项)是,,,,,,68101214⋯ºa。一a。_一二。_:二n+,bZ2,它是一个等差数列再求它的差数列(后项减n一将以上(l)个式子相加(即等号两边分别相,前项)得,得加),,,,,222
2、2⋯»a。一a.=++n+6810+⋯+2(l),是一个常数列于是我们称¹为二阶等差数_「6+2(n+l)〕(n一l)列,称º为¹的一阶差数列,»为¹的二阶数列.2二.n+n一再看数列(4)(l),,,,,,,,一,l2410234652⋯¼a=6。a二(n+4n一l)+6它的一阶差数列是)(,,,,,,,l13二,二nZ+3n+2262336.它的二阶差数列是二(n+l)(n+2).,,,,,,l471013⋯问题获解它的三阶差数列是上面这个求数列通项的方法,叫做逐差法.它,,,,,3333⋯
3、是利用一个数列的差数列(这个差数列恰好是一个这是一个常数列,于是称数列¼是三阶等差数列.等差数列)的有限和,求出原数列的通项公式的.,,一般地:某些数列的构成规律不十分明显我们可以逐有如下的定义,’::E如果一个数列的第(N)阶差数列是一个非次求出它的各阶差数列如果某一阶差数列正好是,.,:零的常数列那么这个数列就叫做阶等差数列等差数列或等比数列那么可以利用这些数列的有显然,中学课本中所讲的非常数的等差数列是一限和,得出原数列的一个通项公式.由于是逐次倒阶等差数列,而常数列可以看作是零阶等差数列
4、.推求差,所以称为逐差法.通常我们把用逐差法求。,an为什么要研究高阶等差数列呢?这是从求数得的通项与之间的解析式叫做原数列的通项列的通项公式引发出来的.公式.例1求数列例2把正的奇数列按口回图回回曰甲V..,12,,,,56,丁⋯6203042⋯¹表l排列不万l.I2l一1夕的一个通项公式.(l)试求27下不卒⋯⋯0位于表中3卜一乡一下5⋯⋯。,日a解设数列¹为{}考虑它的一阶差数列的第几行第几列?同.0.口.0.口,,10,,,,681214⋯(2)求表1中主对角线,。,它是一个等差数列记作
5、lb{则其通项的数列.表l。,,,,,,b=6+(n一l)xZ二Zn+4l5132541⋯¹··.1,新裸很讲坛+滋(2(X)7年第7期)。.的通项a与前n项和民分析考虑数列的各阶差数列.:,,,,,,解(l)把表中数列写成原数列569163162⋯,,,,,,,,l3+5+79+11+13+15+17⋯º一阶差数列1371531⋯,,,,,nn一其中第项(组)含有Z1个数它的末项为二阶差数列24816⋯.2++++n一一l二n,一,【l35⋯(Zl)」Z1由于二阶差数列是等比数列可用逐差法求原
6、.,n设207位于º中的第组之中则207鉴2矿数列的通项公式.,a。,。,一n二1它的最小整数解为犯即207位于º中的解设原数列为}}一阶差数列为{b}二。,,c}第犯组之中这一组的末项为阶差数列为I那么x2一二,Z一一二el,232l2047bb一二,3一Z二eZ,而(2(X)72(X)7)于2+l21bb27;一3二e3,因此0位于º中的第32组中的倒数第21bb,,个数依表中各数的排列规则207位于第32行第.21列。一。_一二e。bb一:,(2)考查数列¹的差数列以上(n一l)个式子相加
7、得,,,,。一,二e一+eZ+e3++c481216⋯b6⋯一,“一l是一个等差数列因此数列¹是一个二阶等差数=2+4+8+⋯+2,,“一’一_列(事实上由奇数列在表中的排列规则可以直接2(2l)判断¹是二阶等差数列.)2一l”二一na。,22()2)设数列¹为{}则,=,.’.。.丫blb二21,气一al二5一1二4而又一!,。”.b也符合上式故6二2一l(n)l),a3一aZ二13一5=8aZ一a.二:,ba;一a3二一二,251312,a3一aZ二Zba4一a3二3,b.。aa一二4(n一
8、l)一,n一以上(l)个式子相加得a。一a。_.二。一l,b.a。一a.=4+8+12+⋯+4n一l二n2一Zn()2a。一a.=一+Z+3++。bbb⋯b一a一二,l.一l.祠润曰艺,乙办二,一。.艺(2l)a二Zn,一2。+l(。)2)m二ln二,一n一l当1时上式成立()。.a。故{}的通项为a二Zn,一2。+1二2”一2一n一l()。.二’一2‘+,二’一.+n二2”一n一1S(Zk)2‘2R么么溶al二,5二2、李nn+ln+1一nn+l)+n.()(Z)(a。=Zn一n一l+5=n+
