杨辉三角形ppt课件.ppt

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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一般地，对于nN*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？杨辉三角《九章算术》杨辉杨辉三角《详解九章算法》中记载的表1．“杨辉三角”的来历及规律杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：11121133114641151010511615201561杨辉三角点击图片可以演示“杨辉三角”课件第5行1551第0行1杨辉三角第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行

2、161561第n-1行11第n行11………………………………1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34125第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第0行1第2行121第3行1331第4行14641……138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了

3、，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.12111111111111113344655101066152015721213535……………………0行1行2行3行4行5行6行7行n行11

4、11n-1行…………２杨辉三角的主要性质7(1)基本性质：杨辉三角形的两条斜边上的数字都是1，而其余各数都等于它肩上的两个数字之和，(2)对称性：(3)最值：当n是偶数时,中间的一项取最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取最大值.二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：当时，其图象是右图中的7个孤立点．二项式系数的性质2．二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：二项式系数的性质（2）增减性与最大值由于：所以相对

5、于的增减情况由决定．二项式系数的性质（2）增减性与最大值由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。可知，当时，二项式系数的性质（2）增减性与最大值因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．一般地，展开式的二项式系数有如下性质：（1）（2）（3）当时，（4）当时，例题分析:例1．证明：（

6、1）(a+b)n的展开式中,各二项式系数的和启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。令a=b=1，则1答案2答案继续思考1:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：证明：在展开式中令a=1，b=－1得小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。赋值法例2小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解思考：例4.设的展开式中，各项系数和比它的二

7、项式系数和大992,⑴求展开式中二项式系数最大的项.⑵求展开式中系数最大的项.1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.课外思考:1.求证：2.(1﹣x)13的展开式中系数最小的项是()(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项C思考32答案思考2求证:略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得思考:求证：证明：∵倒序相加法思考3.在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项

8、;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则即3(r+1)>2(20-r)得2(21-r)>3r所以当r=8时，系