一类四阶非线性波动方程的Cauchy问题

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1、T0=co.注1:如果重一中，只须去掉(s)，定理1仍然成立.定理2假定定理1的条件成立，则问题(l)(2)有唯一局部解。任eZ(【o，T1;H，nw‘，co)，VT任(0，T0)，其中[o，T0)是解存在的最大时间区间，T0依赖于I}。011二1+11。。二Ilco+l}。川。1+1101二I}oo，而且如果(4)成立，则T0=co.在第三章中，我们主要利用能量法并通过先验估计证明Cauc勿问题(1)(2)的整体解的存在唯一性.主要结果如下:定理3假定定理1的条件成立，其中伪是一个常数，且尸(·)+号。一:0，，，，(·):。平(u)全0，则问题(l)(z)有唯一整体解。〔CZ([o，

2、oo);H‘nw‘，oo).注2:如果重二蚕，只须将(s)改为伪全。，定理3仍然成立.定理4假定定理1的条件成立，如果丑a>0，使得尸(·):碧一，，(·):晶。·(·)2，则间题(1)(2)有唯一整体解u〔CZ(田，co);H‘nw‘，co).在第四章中，我们利用凸性方法得到Cauc勿问题(l)(2)的整体解的不存在性.主要结果如下:定理5假定定理1的条件成立，且存在常数a>0使得(2+Za)P(。)一P‘(。)。全0V锐任R(2+Za)重(u)一宙‘(。)。全oVu任RZa蚕n(u)一蚕，，，(u)。全oV廿任R则问题(l)(2)的解在有限时刻发生爆破，若下列条件之一成立:(1)E(

3、o)了ZE(0)(r一u0一}’+。}}。、11’).注3:如果重=中，只须去掉(0)，定理5仍然成立.关键词:cauc勿问题;局部解;整体解;整体解的不存在性.TheCaue勿ProblemofaFour一orderedNonlinearequationAbstraetInthisPaper，weareeoneernedwiththefollowingCau面Problem:(1)牡。一。·州‘一、尸产(·二)+。、。，(U)廿二一，，(U)一号。I，(tL)牡:u(x，o)=。。(x)，u‘(x，o)=ul(x).(2)w

4、herex任R，忿任R+，口>015aconstant，。(x，t)denotesanunknownfunction，P，蚕，重aregivennonlinearfunetions，u。(x)andul(x)aregiveninitialvaluefunetions，andsubseriPtsxandtindieatethePartialderlvativewithreSPecttoxandt，resPectively.Here，forconvenienee，weletp，(0)=o，重(o)=0.ThisPaPereonsistsoffourchaPters:ThefirstchaPt

5、er15theintroduetion;inthesecondchapter，wewilluseeontractionmapPingPrieiPletostudythe丽stence肚lduniquenessoftheloealsolutionoftheCauchyproblem(1)(2):inthethird比即ter，wewillstudythe叻StenceanduniquenessofthegloblesolutionoftheCauchyproblem(1)(2)饰meansofenergymethodandaprioriest加ate:inthefourthehapter，

6、wewillusetheeoneavitymethodtoStudythenon骊steneeofthegloblesolutionoftheCauchyproblem(l)(2).Thedetailsarethese:InthechaPterZ，usingtheeontractionmaPPingPrieiPle，westudythe翻steneeanduniquenessoftheloealsolutionoftheCauchyproblem(1)(2).Themainresultsarefonowing:Theorem1Assumethat祝。任HlnWI，co，锐i任HlnWl，

7、OQ，}蚕II，(u)一蚕，11(v)}三max{几，伪}u一vl(1+}u}m，+}v!爪，)}，蚕‘(o)=0，}p‘(。)一p‘(:)}三伪!u一v}(l+}。}爪2+}v}mZ)，}宙‘(。)一重‘(v)}兰几!u一v}(1+}ulm3+}v}m3)，平‘(0)=0，(3)lV乙where以，肠全0(艺=2，3，4，5:j=l，2，3)，thenthereexistsamaximaltimeTOwhichdePendsonl